Puede que la suma de dos funciones medibles no ser medible si se valoran en general normativa espacio en lugar de $ \mathbb{R} $?

Question

Es bien sabido que la suma de funciones medibles es medible, si son reales o complejas de valoración. Sin embargo, las pruebas a las que me he visto dependen en gran medida el uso de los contables del conjunto de los números racionales. Que me hizo preguntarme, ¿qué pasa si no tenemos el lujo de tener un agradable, contables y subconjunto denso en el espacio de destino?

Si $ X $ es una normativa espacio y $ f,g: \mathbb{R} \rightarrow X $ son Borel funciones, $ f + g $ ser no-Borel? Yo creo que el uso de $ X = C([0,1], \mathbb{R}) $ con el supremum norma podría ser una buena idea, ya que el espacio no es seperable(EDIT: la verdad Es que es...), así que no hay nada como $ \mathbb{Q} $. No he sido capaz de venir con ejemplos concretos, aunque.

También, si pudiera resolver este problema, sería natural preguntarse si nada cambia si permitimos que el dominio sea mensurable de espacio o restringir $ X $ a los espacios de Banach sólo. O es divisibilidad de las $ X $ suficiente para $ f + g $ ser medibles?

Sé que un montón de preguntas, así que te agradecería cualquier ayuda o algunas referencias donde he podido averiguar más.

EDIT: he encontrado el siguiente artículo: http://www.math.ucla.edu/~brh6/DirectIntegral.pdf , con lo que se demuestra en el principio de que la suma de Borel funciones con valores en un separable espacio de Banach es Borel. Que responde a una parte de la pregunta, pero la parte principal sigue siendo.

EDIT2: $ C([0,1]) $, obviamente, era una mala idea, ya que es separable de la piedra-teorema de weierstrass. $ B(\mathbb{R}) $ (espacio delimitado funciones) parece una opción mucho mejor para $ X $ y también cardinalidad superior continuo, que puede ser útil. Me he tropezado con un resultado(sin prueba por desgracia, así que no estoy seguro acerca de que sea correcta), alegando que si $ X $ tiene una densa subconjunto de cardinalidad $ \le \aleph_1 $, entonces la suma de Borel funciones también deben ser Borel. No sé lo que es la mínima cardinalidad de un subconjunto denso de $ B(\mathbb{R}) $, pero es posible que necesitemos un mayor espacio para encontrar un buen ejemplo para un no-medibles suma de funciones medibles.

Answer 1

Edit: Como OP señala, esta solución sólo funciona si $X$ es segundo contable.

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Deje $f, g: \mathbb{R} \to X$ ser Borel medible y $h(s) = f(s) + g(s)$. Considerar las asignaciones de

$$ \begin{align} \mathbb{R} \ni s & \stackrel{h_1}{\mapsto} (s, s) \in \mathbb{R}^2 \\[1ex] \mathbb{R}^2 \ni (s, t) & \stackrel{h_2}{\mapsto} (f(s), g(t)) \in X^2 \\[1ex] X^2 \ni (x, y) & \stackrel{h_3}{\mapsto} x+y \in X. \end{align} $$

Entonces

$$s \stackrel{h_1}{\mapsto} (s, s) \stackrel{h_2}{\mapsto} (f(s), g(s)) \stackrel{h_3}{\mapsto} f(s) + g(s)$$

por lo $h = h_3 \circ h_2 \circ h_1$. Pero $h_1$ $h_3$ son continuos por lo tanto Borel medible y $h_2$ es Borel medible. Así es $h$.

Answer 2

Sí, es cierto que la suma de (Borel) medibles funciones de $\mathbb{R}$ $X$es de nuevo medibles.

Caso I - $X$ es separable: En este caso, $X$ es segundo contable. En particular, si $S$ es una contables subconjunto denso de $X$ entonces la colección, $\mathcal{B}$, de abrir las bolas de radio $1/n$ ($n\in\mathbb{N}$) centrada en los puntos en $S$ es una contables de base para la topología de $X$. Esto es suficiente para mostrar que el mapa de $\mathbb{R}\to X\times X$ $x\mapsto(f(x),g(x))$ es de Borel. Para probar esto, tenga en cuenta que cualquier subconjunto de a $X\times X$ es una unión de los productos de $U\times V$$U,V\in\mathcal{B}$. Este es, necesariamente, un contable de la unión, por lo que su inversa de la imagen en el marco del mencionado mapa es una contables de la unión de los conjuntos de la forma $f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$ y, por lo tanto, es Borel. El mapa $X\times X\mapsto X$, $(x,y)\mapsto x+y$ es continua y, por tanto, Borel. Componer estos mapas muestran que $\mathbb{R}\to X$, $x\mapsto f(x)+g(x)$ es Borel.

Caso II - $X$ es cualquier normativa espacio. De hecho, esto se reduce a casos $I$. Deje $S$ ser la imagen de $f$, que es un espacio métrico bajo la topología de subespacio. A continuación, $f$ es Borel medible función de la separable espacio métrico $\mathbb{R}$ a $S$. Esto es suficiente para deducir que el $S$ es separable (véase el problema 10, sección 4.2 de la R. M. Dudley, Análisis Real y Probabilidad). Del mismo modo, la imagen de $g$ es separable. Dejando $Y$ ser el subespacio de $X$ atravesado por las imágenes de $f$$g$, $Y$ es separable y la medición de la $f+g$ se reduce al caso anterior, por lo que es medible.

Nota: Caso II se basa en el hecho de que $\mathbb{R}$ es un espacio métrico separable, y el resultado no se sostiene si se sustituye la Borel sigma álgebra en $\mathbb{R}$ por un arbitrario medible en el espacio.