La función de sucesor de Peano

Question

He estado tratando de entender la teoría de conjuntos ZF y los axiomas de Peano, pero he encontrado una confusión sobre la definición de Peano de la función sucesora, o más exactamente el modelo de von Neumann.

¿Por qué von Neumann usó $S(x) := x \bigcup \{x\} $ y no sólo el viejo y simple $S(x) := \{x\} $ ? El último parece mucho más simple y fácil de trabajar, así que ¿me estoy perdiendo alguna ventaja importante del primero, o es mi función incompatible de alguna manera?

Editar: ¿la única ventaja es que la cardinalidad del conjunto es igual al valor que representa?

Answer 1

Es más difícil para trabajar. Por ejemplo, podemos "comprobar" si un conjunto arbitrario $x$ es un natural de Von Neumann:

$x$ es finito y transitivo y está bien ordenado por $ \in $ .

donde lo finito puede formalizarse como, por ejemplo, "cada mapa inyectable $x \to x$ es sobre" y transitivo se define como "cada elemento es también un subconjunto". Trate de encontrar una caracterización similar para la alternativa (sin usar " $ \ldots $ "en cualquier lugar".) O tratar de encontrar una forma sencilla de expresar la relación de orden entre los números naturales de una manera simple para los conjuntos que representan los números (para von Neumann tenemos $x<y$ iff $x \in y$ iff $x \subsetneq y$ ).

Answer 2

El beneficio más obvio de la representación de Von Neumann es que el conjunto que representa el número $n$ tiene exactamente $n$ elementos. Esto hace que sea técnicamente fácil use la representación a la razón sobre el conteo.

También establece una conexión con una definición "ingenua" de los números en la que, por ejemplo, el número dos se considera "la propiedad que puede tener un conjunto de tener uno más de un elemento", y está representado por el conjunto de todos conjuntos que tienen exactamente dos elementos. Desafortunadamente tal conjunto no puede existir en la teoría del conjunto estándar, pero la definición de Von Neumann apunta a un particular representante de esta clase que podemos usar para representarla en su lugar.

Un beneficio más avanzado, pero técnicamente bastante importante, de los naturales de Von Neumann es que se generalizan directamente a una representación de números ordinales transfinitos . La representación de números finitos como torres de monolitos no tiene una continuación natural más allá de los finitos, pero la representación de Von Neymann sí.