Ecuación diferencial $y' ^2+(y-1)y'-y=0$

Question

Estoy desconcertado con la siguiente ecuación diferencial: $$y' ^2+(y-1)y'-y=0$$ He intentado resolver para $y$ y consiguió $$y=\frac{y'(y'-1)}{1-y'}$$ Pero no estoy seguro de adónde me lleva eso o de si era el enfoque correcto. Agradezco cualquier consejo.

Answer 1

La ecuación dada puede escribirse como $(y'+y)(y'-1)=0$ por lo que $y'=-y$ o $y'=1$ Así que $y=Ce^{-x}$ y $y=x+C$ son soluciones.

Otra solución es una combinación a trozos de las anteriores. En cualquier punto en el que cambiemos entre las dos formas, tenemos $-y = y' = 1$ Así que $Ce^{-x}=-1$ . Esto sólo puede ocurrir si $C<0$ , en $x=\log(-C)=c$ dando las siguientes soluciones adicionales:

$$y(x) = \begin{cases} -e^{c-x} & x \le c \\ x-c-1 & x \ge c \end{cases}$$ y $$y(x) = \begin{cases} x-c-1 & x \le c \\ -e^{c-x} & x \ge c \end{cases}$$

Answer 2

$$y=\frac{y'(y'-1)}{-(y'-1)}=-y'$$ Así $y=c e^{-x}$ para algunos $c\in \mathbb R$ .