Si$q$ es primo, ¿pueden$\sigma(q^{k-1})$ y$\sigma(q^k)/2$ ser ambos cuadrados cuando$q \equiv 1 \pmod 4$ y$k \equiv 1 \pmod 4$?

Question

Esto está relacionado con este anterior MSE pregunta. En concreto, parece ser que ya hay una prueba de la equivalencia $$\sigma(q^{k-1}) \text{ is a square } \iff k = 1.$$

Deje $\sigma(x)$ denotar la suma de los divisores de un número entero positivo $x$.

Aquí está mi pregunta:

Si $q$ es primo, puede $\sigma(q^{k-1})$ e $\sigma(q^k)/2$ ser ambos cuadrados al $q \equiv 1 \pmod 4$ e $k \equiv 1 \pmod 4$?

MI INTENTO

Supongamos que $$\sigma(q^{k-1}) = a^2$$ y $$\frac{\sigma(q^k)}{2} = b^2$$ para $q \equiv 1 \pmod 4$ e $k \equiv 1 \pmod 4$.

Desde $\sigma(q^k) = q^k + \sigma(q^{k-1})$, se deduce que $$2b^2 = \sigma(q^k) = q^k + \sigma(q^{k-1}) = q^k + a^2.$$

Además, la congruencia sabio obtenemos $$a^2 = \sigma(q^{k-1}) \equiv 1 + (k-1) \equiv k \equiv 1 \pmod 4,$$ de donde se desprende que $a$ es impar, y $$2b^2 = \sigma(q^k) = q^k + \sigma(q^{k-1}) \equiv 1^1 + 1 \equiv 2 \pmod 4,$$ lo que implica que $b$ es igualmente extraño.

Ahora, utilizando la definición de $\sigma(q^k)$ e $\sigma(q^{k-1})$ para $q$ prime, que se derivan de $$\frac{1}{2}\cdot\frac{q^{k+1} - 1}{q - 1} = b^2$$ y $$\frac{q^k - 1}{q - 1} = a^2.$$

Suponemos que, al contrario, $$\frac{1}{2}\cdot\frac{q^{k+1} - 1}{q - 1} = b^2 \leq a^2 = \frac{q^k - 1}{q - 1}.$$ Esta suposición conduce a $$q^{k+1} - 1 \leq 2(q^k - 1)$$ lo que implica que $$16 = {5^1}(5-2) + 1 \leq q^k(q - 2) + 1 = q^{k+1} - 2q^k + 1 \leq 0,$$ desde $q$ es una de las principales satisfacciones $q \equiv k \equiv 1 \pmod 4$. Esto se traduce en la contradicción $16 \leq 0$. En consecuencia, llegamos a la conclusión de que $a < b$.

Además, sé que $$(q+1) = \sigma(q) \mid \sigma(q^k) = 2b^2$$ así que $$\frac{q+1}{2} \leq b^2.$$

Por último, también tengo $$\frac{q^{k+1} - 1}{2b^2} = q - 1 = \frac{q^k - 1}{a^2}.$$

Por desgracia, aquí es donde me quedo atascado.

CONJETURA (Abierto)

Si $q$ es una de las principales satisfacciones $q \equiv k \equiv 1 \pmod 4$, a continuación, $\sigma(q^{k-1})$ e $\sigma(q^k)/2$ son ambos cuadrados al $k = 1$.

RESUMEN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS HASTA AHORA

zongxiangyi parece haber demostrado la implicación $$\sigma(q^k)/2 \text{ is a square} \implies k = 1.$$

La prueba de la siguiente consecuencia es trivial $$k = 1 \implies \sigma(q^{k-1}) \text{ is a square}.$$ El valor de verdad de la siguiente consecuencia es actualmente desconocida: $$\sigma(q^{k-1}) \text{ is a square} \implies k = 1.$$

Juntos, los dos resultados dan $$\sigma(q^k)/2 \text{ is a square} \implies k = 1 \iff \sigma(q^{k-1}) \text{ is a square},$$ de modo que $\sigma(q^{k-1})$ es un cuadrado si $\sigma(q^k)/2$ es un cuadrado.

Por lo tanto, $\sigma(q^{k-1})$ e $\sigma(q^k)/2$ son ambos cuadrados (dado $q \equiv 1 \pmod 4$ e $k \equiv 1 \pmod 4$) cuando $\sigma(q^k)/2$ es un cuadrado.

Answer 1

Aquí hay un par de otros enfoques a considerar que pueden ser útiles. En primer lugar, la ecuación de

$$2b^2 = \sigma(q^k) = q^k + \sigma(q^{k-1}) = q^k + a^2 \tag{1}\label{eq1}$$

puede escribirse como

$$2b^2 - a^2 = q^k \tag{2}\label{eq2}$$

Esto es en la generalización de la ecuación de Pell forma de $x^2 - Dy^2 = N$. El blog de la Resolución de la generalización de la ecuación de Pell se explica cómo resolver esto.

Siguiente, tenga en cuenta que

$$\sigma(q^{k-1}) = \sum_{i=0}^{k-1} q^i \tag{3}\label{eq3}$$

$$\sigma(q^{k}) = \sum_{i=0}^{k} q^i \tag{4}\label{eq4}$$

Por lo tanto, se puede expresar $\sigma(q^{k})$ en términos de $\sigma(q^{k-1})$ como

$$\sigma(q^{k}) = q\sigma(q^{k-1}) + 1 \tag{5}\label{eq5}$$

Como se dijo, supongo

$$\sigma(q^{k-1}) = a^2 \tag{6}\label{eq6}$$

$$\frac{\sigma(q^k)}{2} = b^2 \iff \sigma(q^k) = 2b^2 \tag{7}\label{eq7}$$

Sustituyendo \eqref{eq6} y \eqref{eq7} a \eqref{eq5} da

$$2b^2 = qa^2 + 1 \iff 2b^2 - qa^2 = 1 \iff (2b)^2 - (2q)a^2 = 2 \tag{8}\label{eq8}$$

De Wikipedia, la ecuación de Pell de la página de Transformaciones sección da una relacionada con la ecuación de

$$u^{2}-dv^{2}=\pm 2 \tag{9}\label{eq9}$$

y cómo puede ser transformada en la ecuación de Pell forma de

$$(u^{2}\mp 1)^{2}-d(uv)^{2}=1 \tag{10}\label{eq10}$$

Aquí, $u = 2b$, $v = a$, $d = 2q$ y el lado derecho de \eqref{eq8} es $2$, por lo que \eqref{eq10} se convierte en

$$((2b)^2 - 1)^2 - (2q)(2ba)^2 = 1 \tag{11}\label{eq11}$$

Esto es en la Pell de la ecuación de $x^2 - ny^2 = 1$. Desde $n = 2q$ no es un cuadrado perfecto, hay infinitamente muchos entero de soluciones. Sin embargo, entre estas soluciones, primero tiene que comprobar que $x$ es en la forma $4b^2 - 1$, la decidida $b$ divide $y = 2ba$ y, a continuación, que $a$ e $b$ satisfacer \eqref{eq6} y \eqref{eq7} para algunos $k \equiv 1 \pmod 4$.

Como por tu conjetura, si $k = 1$, entonces no es $\sigma(q^{k-1}) = \sigma(q^{0}) = 1$ e $\frac{\sigma(q^{k})}{2} = \frac{\sigma(q)}{2} = \frac{1 + q}{2}$, por lo que ambos se las plazas exige $q = 2b^2 - 1$ para algunos $b$ y, por lo tanto, no siempre es verdadera para todos los números primos $q \equiv 1 \mod 4$, por ejemplo, para $q = 5$, consigue $5 = 2b^2 - 1 \implies 6 = 2b^2 \implies b = \sqrt{3}$?

Answer 2

(Esta prueba se encuentra actualmente en reconstrucción.)

Deje $q$ ser una de las primeras satisfacciones $q \equiv k \equiv 1 \pmod 4$.

I (intento de) demostrar que

$$\sigma(q^{k-1}) = s(q^k) \text{ is a square } \implies k = 1.$$

Prueba

Suponemos que, al contrario, $k > 1$. Esto implica que $k \geq 5$ (desde $k \equiv 1 \pmod 4$).

Supongamos que $$s(q^k) = s^2 = \sigma(q^k) - q^k = \sigma(q^{k-1}) = \frac{q^k - 1}{q - 1}.\tag{$*$}$$

$(*)$ implica que $(q-1)s^2 = q^k - 1$, que es equivalente a $$q(q^{k-1} - s^2) = q^k - qs^2 = 1 - s^2 = (1 + s)(1 - s) = -(s+1)(s-1).$$

Desde $q$ es primo, consideramos tres dos casos:

Caso 1: $q \mid s + 1$

SubCase 1.1: $q = s + 1$ $$\implies q - 1 = s \implies q^3 - 3q^2 + 3q - 1 = (q - 1)^3 = s^3 = (q - 1)s^2 = q^k - 1$$ $$\implies q^2 - 3q + 3 = q^{k-1} \geq q^4$$ Esta última desigualdad es una contradicción.

SubCase 1.2: $q < s + 1$

Tome $1 < r = (s+1)/q$. A continuación, a partir de la ecuación $$q(s^2 - q^{k-1}) = (s+1)(s-1)$$ uno se $$s^2 - q^{k-1} = r(s - 1)$$ así que $$(s - 1) \mid (s^2 - q^{k-1}) = \sigma(q^{k-2})$$ donde $s - 1 = \sqrt{\sigma(q^{k-1})} - 1$.
Esto implica que $(s - 1) \nmid q^{k-1}$ desde $(s - 1) \mid (s^2 - q^{k-1})$ e $\gcd(s-1,s)=1$. En particular, $(s - 1) \nmid q^{k-1}$ implica que $$s \notin \left\{2, q+1, \ldots, q^{k-1} + 1\right\},$$ dado que la única posible divisores de $q^{k-1}$ se $1, q, \ldots, q^{k-1}$. Pero $q \mid (s+1)$. (No hay contradicciones hasta ahora.)

Tenga en cuenta que $$\sigma(q^{k-2}) \equiv 1 + (k - 2) \equiv k - 1 \equiv 0 \pmod 4.$$ También, tenemos la desigualdad $$\sqrt{\sigma(q^{k-1})} - 1 = s - 1 < s^2 - q^{k-1} = \sigma(q^{k-2}).$$ Esta última desigualdad implica que $$\sqrt{\frac{q^k - 1}{q - 1}} < \frac{q^{k-1} - 1}{q - 1} + 1 = \frac{q^{k-1} + q - 2}{q - 1}$$ de la que podemos obtener $$\frac{q^k - 1}{q - 1} < \bigg(\frac{q^{k-1} + q - 2}{q - 1}\bigg)^2$$ lo que significa que $$(q^k - 1)(q - 1) < (q^{k-1} + q - 2)^2.$$ (Actualmente soy incapaz de obtener una contradicción en virtud de este SubCase 1.2.)

Caso 2: $q \mid s - 1$

SubCase 2.1: $q = s - 1$ $$\implies q + 1 = s \implies q^{k-1} = s^2 - s - 1 = (q+1)^2 - (q+1) - 1$$ $$= q^2 + 2q + 1 - q - 1 - 1 = q^2 + q - 1$$ $$\implies q^2 + q - 1 = q^{k-1} \geq q^4$$ De nuevo, esta última desigualdad es una contradicción.

SubCase 2.2: $q < s - 1$

Tome $1 < t = (s-1)/q$. A continuación, a partir de la ecuación $$q(s^2 - q^{k-1}) = (s+1)(s-1)$$ uno se $$s^2 - q^{k-1} = t(s + 1)$$ así que $$(s + 1) \mid (s^2 - q^{k-1}) = \sigma(q^{k-2})$$ donde $s + 1 = \sqrt{\sigma(q^{k-1})} + 1$.

Esto implica que $(s + 1) \nmid q^{k-1}$ desde $(s + 1) \mid (s^2 - q^{k-1})$ e $\gcd(s,s+1)=1$. En particular, $(s + 1) \nmid q^{k-1}$ implica que $$s \notin \left\{q-1, \ldots, q^{k-1} - 1\right\},$$ dado que la única posible divisores de $q^{k-1}$ se $1, q, \ldots, q^{k-1}$. Pero $q \mid (s-1)$. (No hay contradicciones hasta ahora.)

Tenga en cuenta que $$\sigma(q^{k-2}) \equiv 1 + (k - 2) \equiv k - 1 \equiv 0 \pmod 4.$$ También, tenemos la desigualdad $$\sqrt{\sigma(q^{k-1})} + 1 = s + 1 < s^2 - q^{k-1} = \sigma(q^{k-2}).$$ Esta última desigualdad implica que $$\sqrt{\frac{q^k - 1}{q - 1}} < \frac{q^{k-1} - 1}{q - 1} - 1 = \frac{q^{k-1} - q }{q - 1}$$ de la que podemos obtener $$\frac{q^k - 1}{q - 1} < \bigg(\frac{q^{k-1} - q}{q - 1}\bigg)^2$$ lo que significa que $$(q^k - 1)(q - 1) < (q^{k-1} - q)^2.$$ (Actualmente soy incapaz de obtener una contradicción en virtud de este SubCase 2.2.)

QED

De hecho, más es cierto.

Si $k=1$, a continuación, $s(q^k) \text{ is a square}$.

Por lo tanto, tenemos la bicondicional $$s(q^k) = \sigma(q^{k-1}) = \frac{q^k - 1}{q - 1}$$ is a square if and only if $k=1$.