Creo que están confundiendo a que si $p$ es el primer y $p$ divide $b^k$ entonces $p|b$. Eso es cierto si $p$ es primo.
En realidad también es cierto para un compuesto $a|b^k$ entonces $a|b$ si $a$ no tiene plaza de factores. Pero si $a$ como cualquiera de los factores primos de un poder mayor que el $1$ no tiene por que ser cierto.
Y en realidad, obviamente, no es cierto como $a^2$ divide $a^2$ pero $a^2$ no divide $a$ (a menos que $a = 1$).
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Esto ciertamente no es cierto si $a|b^k$ que $a|b$ significa que los factores primos de $a$ son los principales factores de $b$. Y esto significa que los poderes de los factores primos de $a$ a lo sumo igual a $k$ los tiempos de los poderes de los mismos factores primos de $b$ , pero debido a $k$ es mayor que .....
Oh, déjame ponerlo de esta manera.
Supongamos $a = \prod p_i^{m_i}$ ser la factorización prima de $a$. Supongamos $a|b^k$. Entonces eso significa que $p_i$ son los principales factores de $b$ y que $b = d\prod p_i^{j_i}$. Y esto significa que $b^k = d^k \prod p_i^{k*j_i}$.
Y como $a|b^k$ que significa cada una de las $m_i \le k*j_i$. Pero esto no significa $m_i \le j_i$ , lo que significaría $a|b$.
Que la declaración de $a|b^k$ medio $a|b$ si $a$ tiene plaza libre y todo el primer factor de poderes se $1$ , pero no de otra manera.
Ejemplo sencillo si $a = 12 = 2^2*3$ e $b= 90 = 2*3^2*5$. Ahora $a|b^2 = 8100 = 2^2*3^4*5^2$.
Esto significa que los factores primos de $a$ ($2,3$) son también los principales factores de $b$. Y esto significa que los poderes de los factores primos de $a$ ($2\mapsto 2; 3\mapsto 1$) es menor o igual a $2$ los tiempos de los poderes en $b$ ($2\mapsto 1$ e $2 \le 2*1$ e $3\mapsto 2$ e $1 \le 2*2$), pero no significa que la menor o igual a los poderes de la $b$. (En $a; 2\mapsto 2$ pero en $b; 2\mapsto 1$ e $2 \not \le 1$).
Por lo $12 \not \mid 90$.
Ciertamente no puede ser el caso de que $a|b \implies a^2| b^2 \implies a^2|b$! Eso significaría que cada vez que usted tiene $a|b$ , usted puede mantener el cuadrado y la reducción de conseguir $a^{m}|b$ para cualquier potencia de $m$.
Eso significaría que si $3|6$ entonces $3^2|6$ e $3^4|6$ e $3^{2048}|6$ y así sucesivamente.
O en este caso como $a = b$ (e $c=1$.... debido a $a$ es un número entero) a la que tendría $a|a$ lo $a^2|a$? Y $a^4|a$. Eso es .... simplemente no es cierto.
