¿Cuál es la diferencia entre "en" y "en"?

Question

Esto puede ser sólo un gramatical de la pregunta.

He visto las dos siguientes representaciones:

1. Esta función es continua en $D.$
2. Esta función es continua en $D.$

Hay alguna diferencia entre ellos? Pensé que "en $D$" significa que el interior de $D$ mientras que "en la $D$" contiene en sus límites, pero Me he enfrentado a muchas excepciones.

Alguien puede explicar la diferencia? Le agradecería si me pudiera decir otro de los casos donde este tipo de diferencia asuntos.

Answer 1

Considere la función $f: \mathbb R \to \mathbb R $ definido por $f(x)=1$ para $x \in [0,1]$ e $f(x)=0$ para $x \in \mathbb R -[0,1]$. La función no es continua, sino que la restricción $f:[0,1] \to \mathbb R $ es simplemente la constante función es continua. Para el subconjunto del dominio de $D=[0,1]$ nos dice $f$ es continua en $D$.

Considere la función $f(C,D) = \lfloor C \rfloor + D$ de las variables de $C$ e $D$. La función no es continua, sino que para cada uno de ellos fijo $C_0$ la función de $D \mapsto f(C_0,D) = \lfloor C_0 \rfloor + D\ $es continua. En este caso se dice $f$ es continua en $D$.

Nunca he visto a estos términos que se refieren a la frontera. Términos más comunes son continuas en $\boldsymbol D$ o continua en el interior de $\boldsymbol D$. Otra cosa a decir es diferenciable/holomorphic en el interior de $\boldsymbol D$ y continua en el límite.