"Distancia" entre sumandos en Taylor Series of Cosine

Question

La serie de Taylor de coseno es $$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\ ...$$ Si pasamos ahora de la trama de los sumandos (ignorando el signo y el primer sumando de la simplicidad), se obtiene el siguiente gráfico mediante la utilización de GeoGebra: En esta foto parece como si la distancia entre las gráficas es el mismo para los diferentes sumandos. Además, la distancia parece ser algo en torno a $\frac{\pi}{4}$.

Es esto un hecho? Y si es así, ¿por qué?

Me imagino que tiene algo que ver con el hecho de que podemos escribir Pi utilizando el Leibniz de la serie: $$\frac{\pi}{4}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\ ...$$ Sin embargo no acabo de ver la conexión entre esas dos series.

Parece que esto tiene muy poco que ver con el coseno, sino más bien con monomials sí mismos - pero, ¿por qué incluso monomials dividido por el factorial de su exponente tiene una distancia de $x$-dirección de $\frac{\pi}{4}$?

Answer 1

El $n$-th curva cruza a través de la línea de $y=c$ a $x$coordinar $$ \frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}=c $$ o, de manera equivalente, $x=(k!c)^{1/k}$ donde $k=2n$. Por lo tanto, la distancia entre las dos curvas adyacentes a lo largo de esta línea es $$ \left(\left(k+2\right)!c\right)^{1/(k+2)}-\left(k!c\right)^{1/k} $$ que converge a $2/e\approx0.73576$ como $k \rightarrow \infty$. Para ver esto, vamos a $F_{k}\equiv(\sqrt{2\pi c^{2}k})^{1/k}$ y el uso de Stirling aproximación para obtener el asintótica $$ \frac{k+2}{e}F_{k+2}-\frac{k}{e}F_{k} $$ y aplicar la identidad de $\log(ab)=\log a+\log b$ y de L'Hospital de la regla para obtener $$ \lim_{k}F_{k} =\lim_{k}\exp\left(\frac{\ln(2\pi c^{2}k)}{2k}\right) =\exp\left(\lim_{k}\frac{\ln(2\pi c^{2}k)}{2k}\right) =\exp\left(\lim_{k}\left\{ \frac{\ln(2\pi c^{2})}{2k}+\frac{\ln k}{2k}\right\} \right)=1. $$ Tenga en cuenta que la cantidad de $2/e$ es

• independiente de $c$ y
• "relativamente" cerca de $\pi/4\approx0.78540$.

Answer 2

No sé a qué te refieres por la distancia entre los gráficos, debido a que por parejas se cruzan y por lo tanto tienen $0$ distancia, pero voy a suponer que te refieres a la distancia entre el $y=1$ intercepta.

Tenemos $x^{2n}/(2n)!=1$ exactamente si $x=(2n)!^{1/(2n)}$, por lo que vamos a estudiar la secuencia de $n!^{1/n}$, que por su observación debe crecer alrededor de $\pi/8$ cuando $n$ aumenta en uno. Usted puede comprobar fácilmente que el crecimiento no es exactamente constante, pero podemos demostrar que $n!^{1/n}\sim n/e$, lo $\lim_{n\to\infty}n!^{1/n}/n=1/e$. Además, se puede demostrar que $\lim_{n\to\infty}(n+1)!^{1/(n+1)}-n!^{1/n}=1/e$, que en realidad no siga desde el límite anterior. Ahora desde $\pi/8\approx0.3927$ e $1/e\approx0.3679$ supongo que se puede decir que eran algo cerca de alguien mirando hacia ella.

Answer 3

Comenzando con la respuesta de @parsiad y usando $$d_k=\left(\left(k+2\right)!\,c\right)^{\frac 1{k+2}}-\left(k!\,c\right)^{\frac1k}$ $ usando un término adicional de la aproximación de Stirling, deberíamos terminar con $$d_k \sim \frac{2 k+1}{e k}$ $