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Question

Una pregunta de opción múltiple:

Si $m=50^{50}$ e $n=49^{51}$, luego

(A) $m>n$

(B) $m<n$

(C) $m=n$

(D) La información dada no es suficiente

Mi intento:

Desde las calculadoras ordinarias no pueden evaluar un gran número de $m$ e $n$, entonces podemos usar un truco, que está tomando el logaritmo de ambos $m$ e $n$ a la misma base, permite el uso de $\ln$ (registro a la base de $e$).

$50\ln(50)$ VS $51\ln(49)$

$195.60$ VS $198.48$

Por lo tanto $49^{51}$ es mayor.

Así, B debe ser la elección correcta.

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Esta pregunta fue hecha en un examen nacional para los estudiantes de escuela secundaria.

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Sin embargo:

• Las calculadoras no son permitidos.

• Tablas de registro no están disponibles.

• Los estudiantes no pueden tener ningún tipo de conocimiento acerca de los logaritmos y sus propiedades.

• Los estudiantes deben tener conocimientos básicos acerca de exponentes como $(a/b)^k=a^k/b^k$, $a^j \times a^k = a^{(j+k)}$, y algunos otros productos básicos.

• El tiempo promedio para resolver una pregunta en este examen es de 75 segundos.

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¿Cómo podemos responder a esta pregunta?

Answer 1

Consejo: usa la desigualdad $$\left(1-\frac{1}{x}\right)^x>\frac{1}{x-1}$ $

Answer 2

Tenemos$$\frac{n}{m} = \frac{49^{51}}{50^{50}} = 49 \cdot \left(\frac{49}{50}\right)^{50} = 49 \cdot \left(1-\frac{1}{50}\right)^{50} \approx \frac{49}{e} > 1$ $ Incluso si usted no sabe que para grandes$n$ $$ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \approx \frac{1}{e}$$%, siempre y cuando usted es capaz de decir que$$\left(1-\frac{1}{50}\right)^{50} > \frac{1}{49}$$ you're fine. You can get that for example from Bernoulli's inequality. For $ x> - 1 $ : $$ (1+x)^n \ge 1+xn$ $ para $$ \left(1-\frac{1}{50}\right)^{50} = \left(\left(1-\frac{1}{50}\right)^{25} \right)^2 \ge \left(1-\frac{1}{50}\cdot 25\right)^2 = \left(\frac12\right)^2 = \frac14 > \frac{1}{49}$ $

Answer 3

Use la desigualdad de Bernoulli con $x=-\frac{1}{50}$ y $r=48$ :

PS

Answer 4

En esta respuesta, se muestra que la $\left(1+\frac1{n-1}\right)^n$ está disminuyendo. Eso significa que su recíproco $\left(1-\frac1n\right)^n$ es cada vez mayor. Así, por $n\ge2$, tenemos $$ \left(1-\frac1n\right)^n\ge\frac14\tag1 $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \frac{49^{51}}{50^{50}} &=49\left(1-\frac1{50}\right)^{50}\\ &\ge\frac{49}4\tag2 \end{align} $$

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Otra Prueba de $\boldsymbol{(1)}$

Utilizando el Teorema de $1$ a partir de esta respuesta con $m=2$, obtenemos $$ \begin{align} \left(1-\frac1n\right)^n &\ge1-\frac{n}{n}+\frac{n(n-1)}{2n^2}-\frac{n(n-1)(n-2)}{6n^3}\\ &=\frac{n^2-1}{3n^2}\tag3 \end{align} $$ Para $n\ge2$, $(3)$ da $(1)$.

Answer 5

Conocer el siguiente límite bastante común es muy útil:

PS

$$ \lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x} \right)^x=e \approx 3$ $ $$50^{50}<49^{51}$ $ $$\left(\frac{50}{49}\right)^{50}<49$ $ $$\left(1+\frac{1}{49}\right)^{50}<49$ $ $$\left(1+\frac{1}{49}\right)^{50} \approx e \approx 3$ $ Por lo tanto, concluimos que $$3<49$