Polinomio mínimo de$\sqrt{2+\sqrt[3]{3}}$ sobre$\mathbb{Q}$

Question

Acerca de hace 2 semanas, traté de resolver el siguiente problema.

Encontrar el polinomio mínimo de $\alpha=\sqrt{2+\sqrt[3]{3}}$ sobre $\mathbb{Q}$.

Mi intento

En primer lugar, he tratado de encontrar el polinomio racional(entero) los coeficientes de tener $\alpha$ como una raíz, y $f(x)=x^6-6x^4+12x^2-11$ es un polinomio tal que $f(\alpha)=0$. Por desgracia, $6$ e $12$ no está dividido por $11$, por lo que no podía usar el el criterio de Eisenstein.

En lugar de directamente mostrando que $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$, traté de mostrar que $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=6$. Desde $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha^2)][\mathbb{Q}(\alpha^2):\mathbb{Q}]$ e $\alpha^2=2+\sqrt[3]{3}$, sabemos que $[\mathbb{Q}(\alpha^2):\mathbb{Q}]=3$. Por lo tanto si logramos mostrar que $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha^2)]=2$, entonces la prueba es más. Sin embargo, yo no podía hacerlo.

Supongo que $\alpha\in\mathbb{Q}(\alpha^2)=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$, entonces no se $a,b,c\in \mathbb{Q}$ tales que $$\alpha=a+b\sqrt[3]{3}+c\sqrt[3]{9}.$$ Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, obtenemos $$(a^2-6bc-2)+(3c^2-2ab-1)\sqrt[3]{3}+b^2+2ca)\sqrt[3]{9}=0$$ y $a^2-6bc-2=3c^2-2ab-1=b^2+2ca=0$. Sin embargo, no sé cómo demostrar que este sistema de ecuaciones no tiene una raíz racional y yo estoy atrapado aquí.

Pregunta: ¿hay un (o una variante) manera de resolver el problema?

Answer 1

Aquí hay una solución alternativa. Al trabajar en $\mathbb F_3$ , el polinomio mínimo para $\alpha$ se factoriza como $(x^2+1)^3$ , y $x^2+1$ es irreductible. Por lo tanto, 2 divisiones $[\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]$ , y usted mostró 3 divisiones también.

Answer 2

Esto no es una solución alternativa, pero creo que puedo continuar desde donde se tiene a la izquierda.

Así que estaban tratando de mostrar que no hay ninguna solución racional a $$2 + \sqrt[3]{3} = (a + b \sqrt[3]{3} + c\sqrt[3]{9})^2$$

Tomando el campo de la norma (en $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$ sobre $\mathbb{Q}$) de ambos lados, se obtiene $11 = r^2$ para algunos $r\in\mathbb{Q}$ lo cual es absurdo.