Acerca de hace 2 semanas, traté de resolver el siguiente problema.
Encontrar el polinomio mínimo de $\alpha=\sqrt{2+\sqrt[3]{3}}$ sobre $\mathbb{Q}$.
Mi intento
En primer lugar, he tratado de encontrar el polinomio racional(entero) los coeficientes de tener $\alpha$ como una raíz, y $f(x)=x^6-6x^4+12x^2-11$ es un polinomio tal que $f(\alpha)=0$. Por desgracia, $6$ e $12$ no está dividido por $11$, por lo que no podía usar el el criterio de Eisenstein.
En lugar de directamente mostrando que $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$, traté de mostrar que $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=6$. Desde $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha^2)][\mathbb{Q}(\alpha^2):\mathbb{Q}]$ e $\alpha^2=2+\sqrt[3]{3}$, sabemos que $[\mathbb{Q}(\alpha^2):\mathbb{Q}]=3$. Por lo tanto si logramos mostrar que $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha^2)]=2$, entonces la prueba es más. Sin embargo, yo no podía hacerlo.
Supongo que $\alpha\in\mathbb{Q}(\alpha^2)=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$, entonces no se $a,b,c\in \mathbb{Q}$ tales que $$ \alpha=a+b\sqrt[3]{3}+c\sqrt[3]{9}. $$ Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, obtenemos $$ (a^2-6bc-2)+(3c^2-2ab-1)\sqrt[3]{3}+b^2+2ca)\sqrt[3]{9}=0 $$ y $a^2-6bc-2=3c^2-2ab-1=b^2+2ca=0$. Sin embargo, no sé cómo demostrar que este sistema de ecuaciones no tiene una raíz racional y yo estoy atrapado aquí.
Pregunta: ¿hay un (o una variante) manera de resolver el problema?
