¿Puede cada forma diferencial cerrada expresarse a través de coeficientes constantes?

Question

Deje $M$ ser un liso $n$ dimensiones del colector, y deje $1 \le k < n$. Deje $\omega \in \Omega^k(M)$ ser un cerrado $k$-forma en $M$.

Deje $p \in M$. ¿Existen coordenadas alrededor de $p$, de tal manera que $\omega=a_{i_1i_2\dots i_k}dx^{i_1} \wedge dx^{i_2} \dots \wedge dx^{i_k}$, donde $a_{i_1i_2\dots i_k}$ son constantes?

Es decir, me pregunto si todo cerrado diferencial de la forma de ser local se expresa a través de coeficientes constantes.

Editar:

Se me olvidó que requieren $\omega$ debe ser en todas partes no-cero. De lo contrario, como se mencionó por Paulo Mourão, uno puede tomar la $xdx$ a $M=\mathbb{R}$.

Answer 1

Hay un trivial condición necesaria -- $\omega$ debe tener constante de rango.

El rango de diferencial de la forma se define como sigue: a $k$-en el formulario se dijo ser descomponible si puede ser escrito localmente como una cuña producto de $1$-formas. Cada $k$-formulario puede ser escrito localmente como una suma de descomponible $k$, y el rango de una $k$-forma en un punto se define como el número mínimo de descomponible términos en cualquier representación. Consulte este artículo de la Wikipedia para más.

Una constante-coeficiente de forma, obviamente, tiene rango constante, así que es una condición necesaria para $\omega$ que se expresa como una constante-coeficiente de forma en algunas coordenadas. Para ver que esta condición es más fuerte que en ninguna parte se desvanece en general, considerar los siguientes cerrado $2$-forma en $\mathbb R^4$, con coordenadas $(w,x,y,z)$: $$ \omega = w\, dw\wedge dx + dy \wedge dz. $$ Esto no es en absoluto de fuga, y que tiene rango de $2$ donde $w\ne 0$, pero en el $w=0$ hyperplane tiene rango $1$. Por lo tanto no hay coordenadas en un barrio de origen, que hará que sea constante el coeficiente.

Para $1$-formas, constante rango, sólo significa que sea idéntica a cero o nada-de fuga. Obviamente el formulario cero tiene una constante el coeficiente de representación, y como @TedShifrin señaló en un comentario, el teorema de Frobenius muestra que un lugar que se desvanece cerrado $1$-formulario tiene una representación en una vecindad de cada punto. Por lo tanto la constante de rango condición es suficiente para $1$-formas.

Para $2$-formas, constante rango es equivalente a la matriz de la forma que tengan constantes clasificación en cualquier sistema de coordenadas. En este caso, he aquí una prueba de que la constante de rango condición es suficiente: Supongamos $\omega$ es un cerrado $2$-forma constante con rango de $p$. Por el Poincaré lema, en una vecindad de cada punto hay un $1$forma $\theta$ tal que $d\theta = \omega$. Entonces, debido a $d\theta$ constante en el ranking, la generalizada del teorema de Darboux implica que hay coordenadas locales $(x^1,\dots,x^{n-p},y^1,\dots,y^p)$ en que $\theta$ está dado por $$ \theta = x^1\,dx^1 + \dots + x^p\,dx^p, $$ y, por tanto, $\omega$ tiene la constante coeficiente de expresión $$ \omega = dx^1\wedge dy^1 + \dots + dx^p \wedge dy^p. $$

No estoy seguro acerca de la suficiencia de las formas de grado superior $2$, pero sospecho que es cierto que en caso de que así. Me gustaría consultar el libro de Exterior Diferencial de los Sistemas por Bryant et al.

Answer 2

Permítanme generalizar un poco de Jack Lee la respuesta. Suponga $V,W$ son finitos tridimensional real de los espacios vectoriales y deje $\mu \in \Lambda^k(V)^{*}, \nu \in \Lambda^k(W)^{*}$ dos $k$-la alternancia de las formas en $V$ e $W$ decentemente. Digamos que $\mu$ e $\nu$ son equivalentes si existe un isomorfismo $T \colon V \rightarrow W$ tal que para todos los $v_1, \dots, v_k \in V$ hemos $$ \nu(Tv_1, \dots, Tv_k) = \mu(v_1, \dots, v_k). $$ En otras palabras, $\nu$ e $\mu$ son equivalentes si $T^{*}(\nu) = \mu$. Por functoriality de la retirada, esta es una relación de equivalencia.

Reclamo: Vamos a $\omega$ ser $k$-forma en un colector $M^n$ y deje $p \in M$. Una condición necesaria para la existencia de un sistema de coordenadas alrededor de $p$ en que $\omega$ tiene coeficientes constantes es que existe una neighrhood $U$ de $p$ en que $\omega_{p'}$ es equivalente a $\omega_p$ para todos los $p' \in U$.

Prueba: Si $\varphi \colon V \rightarrow U \subseteq M$ es un sistema de coordenadas en el que $\omega$ tiene coeficientes constantes, a continuación, $\varphi^{*}(\omega|_{V}) = \sum_{I} a_I dx^{I}$. Set $\omega_0 = \sum_{I} a_I dx^{I} \in \Lambda^k(\mathbb{R}^n)^{*}$ y deje $p' = \varphi(q') \in U$. A continuación, $d\varphi|_{q'} \colon \mathbb{R}^n \rightarrow T_{p'}M$ es un isomorfismo lineal que da una equivalencia entre $\omega_{p'}$ e $\omega_0$. Desde $p' \in U$ fue arbitraria, $\omega_{p}$ también es equivalente a $\omega_0$ e lo $\omega_p$ e $\omega_{p'}$ son equivalentes.

Cuando $k \in \{1, 2, n-2, n-1, n\}$, se puede clasificar de forma explícita cuando dos $k$-formas son equivalentes utilizando la clasificación. Para los otros casos y general $n$, parece ser un problema abierto (se le preguntó acerca de esto antes de aquí), pero tener la constante de rango es definitivamente no es suficiente. Para algunos ejemplos que muestran que la constante del rango o de la local de equivalencia no es suficiente, ver aquí.

Answer 3

Creo que no tienes tales coordenadas alrededor de $0$ para $\omega=xdx$ en $\mathbb{R}$ .