Minimizar

Question

A continuación es una situación que me encontré durante la resolución de problemas utilizando el método de energía en la mecánica. He formulado en forma de pregunta, la omisión de detalles que creo que son innecesarios.

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Pregunta:

Dado positivo continuo diffenertiable funciones de $f(x)$ e $g(x)$, parece que no-trivial $\phi(x)$ que minimiza el funcional $F$:

$$ F[\phi\phi',\phi";x]= \frac{\displaystyle\int_0^1 f(x)\phi"(x)\phi"(x)\,\text{d}x} {\displaystyle\int_0^1 g(x) \phi'(x)\phi'(x)\,\text{d}x} $$

con las condiciones de contorno $\phi(0)=\phi''(0)=\phi(1)=\phi''(1)=0$.

1. Para $f(x)=1$ e $g(x)=1$, demuestran que, a $\phi(x)=C\sin(\pi x)$, donde $C$ es arbitrario constante, minimiza $F$.
2. Para $f(x)=1$ e $g(x) = x$, encontrar $\phi(x)$.
3. Para general $f(x)$ e $g(x)$, encontrar $\phi(x)$.

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Comentarios

Una fuente asegura que el funcional $F$ se llama la de Rayleigh-Ritz cociente. Algunos casos especiales del problema original se puede resolver de forma exacta a partir de la ecuación diferencial, por lo que hay un poco de información acerca de la solución que se esperaba:

1. Para $f(x)=1$ e $g(x)=1$, la función de $\phi(x)=C\sin(\pi x)$ corresponde a la solución exacta, pero no se ha probado en términos de minimizar el funcional $F$.
2. Para $f(x)=1$ e $g(x)=x$, un caso similar con diferentes condiciones de frontera tiene la solución exacta $\phi(x)$ en la forma de la función de Bessel de primera especie $J_{-1/3}$. Físicamente creo que la función de Bessel debe ser también la solución de la forma en este caso, pero matemáticamente no estoy seguro.
3. Para general $f(x)$ e $g(x)$, solemos recurrir a métodos numéricos como el de elementos finitos, porque creemos que la forma cerrada de solución no es posible. Aquí estoy preguntando simplemente por curiosidad. Sería posible expresar $\phi(x)$ en alguna forma, como el uso de una serie infinita o funciones especiales? Puede ser la imposición de ciertas condiciones para $f(x)$ e $g(x)$? Lo siento por ser vago, puedo agregar más información si es necesario.

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Editado: 2019-07-07

Me gustaría añadir los resultados numéricos para el caso 2, donde $f(x)=1$ e $g(x)=x$.

La forma del modo de $\phi(x)$ se expresa en el poder de la serie:

$$\phi(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots + a_n x^n + \cdots$$ donde $$a_0=0,\quad a_1=1,\quad a_2=0,\quad a_3\approx -0.7272$$ $$a_{3n+1}=\frac{(-1)^n\xi^n}{(3n+1)!}\prod_{k=1}^n (3k-2),\quad n\ge 1$$ $$a_{3n+2}=0,\quad n\ge 1$$ $$a_{3n+3}=-6a_3\frac{(-1)^n\xi^n}{(3n+3)!}\prod_{k=1}^n (3k),\quad n\ge 1$$ $$\xi \approx 18.5687 $$ El funcional $F$ se calcula como $$F=\xi\approx 18.5687$$ Parece que mi físico creencia es errónea: la forma de $\phi(x)$ no es como una función de Bessel, y ni siquiera simétrica en el dominio $[0,1].$

Para la comparación, si $\phi(x)=\sin(\pi x)$, a continuación, $F=2\pi^2\approx1 9.7392.$

Answer 1

Puede explicar esto de conseguir una "normal" de Lagrange funcional en $$ \text{minimizar}\int_0^1f(x)ϕ"(x)^2dx \text{ tales que } \int_0^1 g(x)ϕ'(x)^2dx=1 $$ A continuación, el Lagrange funcional es $$ L(ϕ,λ)=\frac12\int_0^1f(x)ϕ"(x)^2dx+\fracλ2\left(1-\int_0^1 g(x)ϕ'(x)^2dx\right). $$ El punto de silla de la condición de resp. De Euler-Lagrange las ecuaciones, a continuación, llevar a \begin{align} 0=δL(ϕ,λ)&=\int_0^1f(x)ϕ''(x)δϕ''(x)dx-λ\int_0^1g(x)ϕ'(x)δϕ'(x)dx \\ &=[f(x)ϕ''(x)δϕ'(x)]_0^1-\int_0^1[f(x)ϕ''(x)]'δϕ'(x)dx-λ[g(x)ϕ'(x)δϕ(x)]_0^1+λ\int_0^1[g(x)ϕ'(x)]'δϕ(x)dx \\ &=-[f(x)ϕ''(x)]'δϕ(x)]_0^1+\int_0^1[f(x)ϕ''(x)]''δϕ(x)dx+λ\int_0^1[g(x)ϕ'(x)]'δϕ(x)dx \end{align} usando las condiciones de frontera, y que las variaciones tienen que salir de las condiciones de contorno fijo, por lo tanto es cero en los mismos lugares en el mismo derivados.

La ecuación resultante es $$ 0=[f(x)ϕ"(x)]"+λ[g(x)ϕ'(x)]'\implica C=[f(x)ϕ"(x)]'+λ[g(x)ϕ'(x)]. $$

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Para $f=g=1$ esto da $$0=ϕ^{(4)}+λϕ''$$ which has non-trivial solutions $A\cos(wx)+B\sin(wx)+Cx+D$, leading to $A=C=D=0$ and $ω=k\pi$, $λ=ω^2$, minimum with non-trivial solution for $k=1$.

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Para el segundo ejemplo $f=1$, $g(x)=x$, se obtiene $$ 0=ϕ^{(4)}+λxϕ"+λϕ'\text{ o }C=ϕ"'+λxϕ' $$ La parte homogénea de la segunda forma tiene una solución en términos de funciones de Airy para $ϕ'$, después de aplicar la variación de las constantes e integrar para obtener $ϕ$, esto se parece a un largo intuitivo fórmula.

Answer 2

Creo que tengo una respuesta parcial, esperemos que alguien puede ampliar en él.

Deje $\eta$ ser una función de la satisfacción de las mismas condiciones de contorno. A continuación, la primera variación de la funcional es

$$ \delta F = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{F[\phi + \epsilon \eta] - F[\phi]}{\epsilon} $$

Si $\phi$ minimiza el funcional, esta primera variación tiene que ser cero para todos los $\eta$.

De trabajo para el funcional determinada obtenemos

$$\frac{\delta F}{2} = \left( \int_0^1 f \phi'' \eta'' dx \right)\left( \int_0^1 g \phi'\phi' dx \right) - \left( \int_0^1 f \phi'' \phi'' dx \right) \left( \int_0^1 g \phi' \eta' dx \right) $$

1. Ahora vamos a $\phi(x) = \sin(\pi x)$ e $f(x) = g(x) = 1$. A continuación, la primera variación se convierte en

$$ \frac{\delta F}{2} = -\left(\int_0^1 \pi^2 \sin(\pi x)\eta''\right)\frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^4}{2} \left( \int_0^1 \pi \cos(\pi x) \eta' dx \right) $$

Integración parcial, a continuación, muestra que esto es igual a cero, demostrando $\sin(\pi x)$ minimiza $F$.