Motivados por esto, aquí estoy con la esperanza de resolver la siguiente integral: \begin{equation} I_n(a,t) = \int_0^\infty \frac{\cos(xt)}{\left(x^2 + a^2\right)^n}\:dx \end{equation} Donde $a,t \in \mathbb{R}^+$ e $n \in \mathbb{N}$. Para empezar observamos que: \begin{equation} I_n(a,t) = \int_0^\infty \frac{\cos(xt)}{\left(a^2\left(\frac{x^2}{a^2} + 1\right)\right)^n}\:dx = \frac{1}{a^{2n}} \int_0^\infty \frac{\cos(xt)}{\left(\left(\frac{x}{a}\right)^2 + 1\right)^n}\:dx \end{equation} Deje $u = \frac{x}{a}$: \begin{align} I_n(a,t) &= \frac{1}{a^{2n}} \int_0^\infty \frac{\cos(uat)}{\left(u^2 + 1\right)^n}\cdot a\:du = a^{1 - 2n}\int_0^\infty \frac{\cos(uat)}{\left(u^2 + 1\right)^n}\:du \\ &=a^{1 - 2n}I_n(1, at) \end{align} Por lo tanto, sólo tenemos que resolver la siguiente integral para solucionar $I_n(a,t)$: \begin{equation} J_n(s) = \int_0^\infty \frac{\cos(su)}{\left(u^2 + 1\right)^n}\:du \end{equation} Observando $I_n(a,t) = J_n(at)$. Aquí vamos a proceder mediante la formación de una ecuación diferencial para $J_n(s)$. Para ello, empleamos Leibniz Integral de la Regla y diferenciar en la curva dos veces w.r.t $s$: \begin{align} \frac{d^2J_n}{ds^2} &= \int_0^\infty \frac{-u^2\cos(su)}{\left(u^2 + 1\right)^n}\:du = -\int_0^\infty \frac{\left(u^2 + 1 - 1\right)\cos(su)}{\left(u^2 + 1\right)^n}\:du \nonumber \\ &=-\left[\int_0^\infty \frac{\cos(su)}{\left(u^2 + 1\right)^{n - 1}}\:du - \int_0^\infty \frac{\cos(su)}{\left(u^2 + 1\right)^n}\:du\right] \nonumber \\ &=-\left[J_{n - 1}(s) - J_n(s) \right] = J_n(s) - J_{n - 1}(s) \end{align} Así se forma el recurrente ecuación diferencial: \begin{equation} \frac{d^2J_n}{ds^2}- J_n(s) = -J_{n - 1}(s) \end{equation} En orden para que una solución sea obtenida, se requiere lo siguiente: $I_1(s)$, $I_n(0)$, e $I_n'(0)$. Afortunadamente, todos estos son fáciles de obtener. Comenzando con $I_1(s)$ nos encontramos con: \begin{equation} I_n(s) = \frac{\pi}{2}e^{-s} \end{equation} Para $I_n(0)$ tenemos: \begin{equation} I_n(0) = \int_0^\infty \frac{1}{\left(u^2 + 1\right)^n}\:du \end{equation} El uso de la subsitution $u = \tan(w)$ se obtiene una solución en términos de la Beta (y, por extensión, Gamma) de la función: \begin{align} I_n(0) &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{\left(\tan^2(w) + 1\right)^n}\cdot \sec^2(w)\:dw = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{2n - 2}(w)\:dw \nonumber \\ &= \frac{1}{2}B\left( \frac{2n - 1}{2}, \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{2n - 1}{2}\right)\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma\left(\frac{2n - 1}{2} + \frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{2n - 1}{2}\right)}{\Gamma(n)} \end{align} Para $I_n'(0)$ tenemos: \begin{equation} I_n'(0) = \int_0^\infty \frac{-x\sin(x \cdot 0)}{\left(x^2 + 1\right)^n} = 0 \end{equation} Ahora, y aquí es donde yo estoy seguro acerca de mi proceso - para nuestro recursiva ecuación diferencial tomamos la transformada de Laplace: \begin{align} \mathscr{L}_{s \rightarrow p}\left[ \frac{d^2J_n}{ds^2} \right] - \mathscr{L}_{s \rightarrow p}\left[J_n(s) \right] &= -\mathscr{L}_{s \rightarrow p}\left[ J_{n - 1}(s) \right] \nonumber \\ p^2 \overline{J}_n(p) - pJ_n(0) - J_n'(0) - \overline{J}_{n}(p) &= -\overline{J}_{n - 1}(p) \nonumber \\ \left(p^2 - 1\right)\overline{J}_n(p) &= pJ_n(0) -\overline{J}_{n - 1}(p) \end{align} Por lo tanto, \begin{equation} \overline{J}_n(p) = \frac{p}{p^2 - 1} J_n(0) - \frac{1}{p^2 - 1}\overline{J}_{n - 1}(p) \end{equation} Ahora podemos tomar la transformada Inversa de Laplace: \begin{align} \mathscr{L}_{p \rightarrow s}^{-1} \left[\overline{J}_n(p)\right] &= \mathscr{L}_{p \rightarrow s}^{-1} \left[\frac{p}{p^2 - 1}\right]J_n(0) - \mathscr{L}_{p \rightarrow s}^{-1} \left[\frac{1}{p^2 - 1}\overline{J}_{n - 1}(p)\right] \nonumber \\ J_n(s) &= J_n(0)\cosh(s) - \int_0^s \sinh(s - a)J_{n - 1}(a)\:da \nonumber \\ &= J_n(0)\cosh(s) - \int_0^s \left[\sinh(s)\cosh(a) - \sinh(a)\cosh(s)\right]J_{n - 1}(a)\:da \nonumber \\ &= J_n(0)\cosh(s) - \sinh(s)\int_0^s\cosh(a) J_{n - 1}(a)\:da \nonumber \\ &\quad+ \cosh(s)\int_0^2 \sinh(a)J_{n - 1}(a)\:da \end{align} Ahora, mientras tenemos un recursiva forma integral que rige $J_n(s)$ no estoy seguro de cómo resolverlo!.
¿Alguien tiene alguna sugerencia acerca de cómo avanzar?
Otro enfoque (creo) es emplear el lineal D-operador. Aquí si definimos $D = \frac{d}{ds}$ , a continuación, nuestro consejo de la ecuación diferencial dada por: \begin{equation} \left(D - 1\right)\left(D + 1\right)\left[ J_{n}(s)\right] = -J_{n - 1}(s) \end{equation} Por lo tanto, \begin{equation} J_n(s) = -\left(\left(D - 1\right)\left(D + 1\right)\right)^{-1}\left[ J_{n-1}(s)\right] \end{equation} Cual es mi razonamiento es correcto implica que \begin{align} J_n(s) &= (-1)^n \left(\left(D - 1\right)\left(D + 1\right)\right)^{-(n - 1)}\left[ J_1(s)\right] = (-1)^n \left(\left(D - 1\right)\left(D + 1\right)\right)^{-(n - 1)}\left[ \frac{\pi}{2}e^{-s}\right] \nonumber \\ &= (-1)^n \frac{\pi}{2} \left(\left(D - 1\right)\left(D + 1\right)\right)^{-(n - 1)}\left[ e^{-s}\right] \end{align}
