¿Por qué es tan útil la Distribución de Cauchy?

Question

¿Alguien podría darme algunos ejemplos prácticos de la Distribución de Cauchy? ¿Qué la hace tan popular?

Answer 1

La distribución estándar de Cauchy se deriva de la razón de dos variables aleatorias normales independientes. Si $X \sim N(0,1)$ y $Y \sim N(0,1)$, entonces $\tfrac{X}{Y} \sim \operatorname{Cauchy}(0,1)$.

La distribución de Cauchy es importante en física (donde se conoce como distribución de Lorentz) porque es la solución a la ecuación diferencial que describe la resonancia forzada. En espectroscopía, es la descripción de la forma de las líneas espectrales que están sujetas a un ensanchamiento homogéneo en el que todos los átomos interactúan de la misma manera con el rango de frecuencia contenido en la forma de la línea.

Aplicaciones:

• Se utiliza en teoría mecánica y eléctrica, antropología física y problemas de medición y calibración.

• En física se le llama distribución lorentziana, donde es la distribución de la energía de un estado inestable en mecánica cuántica.

• También se utiliza para modelar los puntos de impacto de una línea recta fija de partículas emitidas desde una fuente puntual.

Fuente.

Answer 2

Además de su utilidad en física, la distribución de Cauchy se utiliza comúnmente en modelos en finanzas para representar desviaciones en los rendimientos del modelo predictivo. La razón de esto es que los profesionales en finanzas desconfían de usar modelos que tienen distribuciones de colas ligeras (por ejemplo, la distribución normal) en sus rendimientos, y generalmente prefieren ir por otro camino y usar una distribución con colas muy pesadas (por ejemplo, la de Cauchy). La historia de las finanzas está llena de predicciones catastróficas basadas en modelos que no tenían colas lo suficientemente pesadas en sus distribuciones. La distribución de Cauchy tiene colas lo suficientemente pesadas que sus momentos no existen, por lo que es un candidato ideal para dar un término de error con colas extremadamente pesadas.

Tenga en cuenta que este problema de la gordura de las colas en los términos de error en los modelos de finanzas fue uno de los principales contenidos de la popular crítica de Taleb (2007). En ese libro, Taleb señala ejemplos donde los modelos financieros han utilizado la distribución normal para los términos de error, y señala que esto subestima la verdadera probabilidad de eventos extremos, que son particularmente importantes en finanzas. (En mi opinión, este libro da una crítica exagerada, ya que los modelos que utilizan desviaciones de colas pesadas de hecho son bastante comunes en finanzas. En cualquier caso, la popularidad de este libro muestra la importancia del tema).