Matrices con una determinada propiedad

Question

Supongamos que $A$ es un $n\times n$ matriz que tiene las siguientes propiedades

• $A$ es invertible

• todas las entradas en $A$ son $-1$ , $0$ o $1$

• si una columna tiene más de una entrada no nula, entonces las entradas no nulas están estrictamente por debajo de la diagonal

Supongamos que $A^{-1}$ tiene las mismas propiedades. ¿Se deduce que todas las filas y columnas de $A$ debe contener exactamente una entrada que sea $1$ o $-1$ ?

Answer 1

Adoptaremos las siguientes notaciones. Sea $B=A^{-1}$ . Denotemos la base estándar por $\{e_1,\ldots,e_n\}$ y la matriz identidad por $\mathbf I$ . Cuando no está en negrita, la letra $I$ denota un conjunto de índices. Para cualquier matriz $M$ , denotan su $i$ -en la fila de $M_{i\ast}$ y su $j$ -Columna de $M_{\ast j}$ . Cuando $I$ y $J$ son conjuntos de índices, $M_{IJ},\ M_{iJ}$ y $M_{Ij}$ son notaciones para submatriz, subvector de filas y subvector de columnas de $M$ respectivamente. Llamamos a no cero elemento $m_{ij}$ a entrada derecha de $M$ si $j\ge i$ o un entrada de la izquierda si $i>j$ .

Por las condiciones dadas, $A$ satisface las siguientes propiedades:

Propiedad 1. $A$ no puede contener entradas a la derecha y a la izquierda en la misma columna. Si $a_{ij}$ es una entrada a la derecha, $A_{\ast j}$ es un múltiplo escalar de $e_i$ .

Prueba. Esto se deduce directamente de la tercera condición dada.

Propiedad 2. Cada fila de $A$ contiene como máximo una entrada derecha.

Prueba. Supongamos que $a_{ij}$ y $a_{ik}$ son dos entradas a la derecha de $A$ . Por la propiedad 1, ambos $A_{\ast j}$ y $A_{\ast k}$ son múltiplos escalares de $e_i$ . Por lo tanto, $j$ debe ser igual a $k$ porque $A$ es invertible.

Propiedad 3. Cada columna de $A$ contiene como máximo una entrada a la izquierda.

Prueba. Supongamos lo contrario, que $A$ tiene más de una entrada a la izquierda en alguna columna $j$ . Dejemos que $K=\{k: a_{kj}\ne0\}$ . Entonces $|K|>1$ y por la propiedad 1, $a_{kj}$ es una entrada a la izquierda de $A$ y $b_{jk}$ es cero o una entrada a la derecha de $B$ para cada $k\in K$ . Desde $BA=\mathbf I$ tenemos $$ B_{\ast K}A_{Kj} = BA_{\ast j} = (BA)_{\ast j} = e_j.\tag{1} $$ En particular, $B_{jK}A_{Kj}=1$ . Desde $A_{Kj}$ es distinto de cero a la entrada, debemos tener $b_{jk_0}\ne0$ para algunos $k_0\in K$ , lo que significa que $b_{jk_0}$ es una entrada a la derecha de $B$ . Por lo tanto, $b_{jk_0}$ es la única entrada no nula en $B_{\ast k_0}$ por la propiedad 1 y también la única entrada no nula en $B_{jK}$ por la propiedad 2. En otras palabras, $B_{\ast K}$ es en forma de $$ B_{\ast K}=\pmatrix{\ast&0&\ast\\ 0&b_{jk_0}&0\\ \ast&0&\ast}.\tag{2} $$ Dejemos que $I=\{1,2,\ldots,n\}\setminus\{j\}$ y $J=K\setminus\{k_0\}$ . Como $|K|>1$ , $J$ es no vacía. Entonces $(1)$ y $(2)$ juntos implican que $A_{Jj}$ es una solución no trivial de $B_{IJ}A_{Jj}=0$ . Así, $B_{IJ}$ y a su vez $B_{\ast J}$ tienen columnas linealmente dependientes, y llegamos a una contradicción porque $B$ se supone que es invertible. $\square$

Ahora las propiedades 1 y 3 implican que $A$ tiene como máximo una entrada no nula en cada columna. De la invertibilidad de $A$ que $A$ tiene exactamente una entrada no nula en cada fila y cada columna, es decir $A=DP$ para alguna matriz de permutación $P$ y alguna matriz diagonal invertible $D$ .

Answer 2

Creo que sólo las permutaciones de matrices diagonales son soluciones válidas. Primero, $A$ debe tener entradas no nulas en cada columna, ya que de lo contrario no es invertible. Siguiente, $A$ debe tener al menos una columna con exactamente una entrada no nula, ya que de lo contrario $A$ es triangular inferior con 0s en la diagonal por lo que su determinante sería 0. Finalmente para la columna con una sola entrada no nula, no hay dos columnas de este tipo que puedan tener elementos no nulos en la misma fila debido a la dependencia lineal.

Dividir $A$ en columnas con exactamente un valor distinto de cero (X) o más de uno (Y). Dado que las columnas con un solo valor distinto de cero (X) no pueden compartir una fila distinta de cero, puede permutarlas en columnas (dejando Y intacto) para que la matriz resultante sea triangular inferior, es decir, permutar $X$ en orden descendente respecto a cada elemento no nulo de $X$ . Entonces el determinante debe ser cero, a menos que $Y$ está vacía.

De ello se desprende que $A$ sólo puede tener columnas con exactamente una entrada no nula.