Si cada polinomio en$k[x]$ tiene una raíz en$E$, ¿está$E$ algebraicamente cerrado?

Question

Si $E/k$ es algebraica y para todos los $f$ en $k[X]$, todas las raíces de $f$ mentira en $E$, a continuación, $E$ es algebraicamente cerrado.

La pregunta es:

Si $E/k$ es algebraica y para todos los $f$ en $k[X]$, al menos una raíz de $f$ se encuentra en $E$, entonces es $E$ algebraicamente cerrado?

Answer 1

Esto es cierto, pero no es trivial. Ver Gilmer, Una Nota en la Clausura Algebraica de un Campo.

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El OP pidió otra referencia en los comentarios. Una búsqueda en google revela Richman Un teorema de Gilmer y la canónica universal de la división de anillo, que al parecer da constructiva de la prueba. En este Matemática Stackexchange respuesta, Martin Brandeburgo da como una referencia adicional Isaacs Raíces de Polinomios en la Algebraicas Extensiones de Campos.

Isaacs demuestra una generalización de Gilmer del teorema: Una extensión algebraica $K$ de un campo de $k$ se determina hasta el isomorfismo más de $k$ por el conjunto de los polinomios en la $k[x]$ que tiene una raíz en $K$. Él cita Gilmer y p.88 de un libro que se llama la Teoría de los Campos por Nagata. No es claro para mí que ese libro existe, pero yo lo hice rastrear una prueba de Gilmer del teorema como el Teorema de 2.12.2 en la p. 71 de Nagata la Teoría de la Conmutativa Campos. Con respecto a Gilmer del teorema, Isaacs escribe:

Este teorema no es bastante la trivialidad puede parecer a primera vista. Si uno sabe que todos los polinomios en la $F[X]$ dividido en $E$, entonces es un ejercicio fácil para demostrar que $E$ es algebraicamente cerrado. Bajo el más débil de la hipótesis del Teorema 1, sin embargo, esta conclusión es considerablemente más difícil de demostrar. (Es más difícil encontrar en la literatura, también. Una búsqueda de cerca de una docena de libros que se ocupan de extensiones de campo fue capaz de descubrir sólo una prueba de este resultado y dos casos en los que al menos una parte del Teorema 1 aparece como un problema.)

Answer 2

Deje $E/k$ ser una expresión algebraica extensión tal que $E$ contiene una raíz de cada polinomio $\in k[x]$.

$E = \overline{k}$.

• Si $k$ es finito o de característica cero, entonces la afirmación es obvia con el primitivo elemento teorema : para cualquier $f \in k[x]$, todas sus raíces están contenidas en una simple extensión de $k[a] $ , por tanto, en $\sigma(k[a]) = k[\sigma(a)]$ para cualquier raíz de $\sigma(a)$ de $a$'s mínimo polinomio.

• Por otra parte tenemos a $char(k) = p$. Para cada una de las $a$ deje $a^{1/p^r}$ ser la única raíz de $x^{p^r}-a$. Así que tiene sentido mencionar el campo de $k^{1/p^r}$ que está contenida en $E$.

  Para cualquier $c \in \overline{k}$, vamos a $g \in k[x]$ ser su polinomio mínimo, vamos a $p^r$ ser el más grande de $p$-ésima potencia tal que $g(x) = h(x^{p^r})$, a continuación, $h \in k[x]$ es irreductible y no es de la forma $h(x) = H(x^p)$ lo $h' \ne 0$ lo que implica $h$ es separable (si $h$ era inseparable, a continuación, $\gcd(h,h')$ dividiría). Como $h(c^{p^r}) = g(c) = 0$ entonces $c^{p^r}$ es separable y podemos utilizar la primitiva elemento teorema para obtener $a$ tal que $k[a]$ contiene todos los conjugados de la $c^{p^r}$. Para cualquier $\sigma \in Aut(\overline{k}/k)$, $k[\sigma(a)]$ contiene todos los conjugados de la $c^{p^r}$, en particular, $c^{p^r} = \sum_{j=0}^J u_{j, \sigma}\sigma(a)^j, u_{j, \sigma} \in k$.

  $E$ contiene $k^{1/p^r}$ y una raíz $ \sigma(a)^{1/p^r}$ de $a^{1/p^r}$'s mínimo polinomio, por lo tanto $E$ contiene $\sum_{j=0}^J u_{j, \sigma}^{1/p^r}(\sigma(a)^{1/p^r})^j$, a raíz de la $x^{p^r}-c^{p^r}$ que tiene que ser $c$.