Pregunta simple sobre "verdad vacua".

Question

En mi tarea hay un ejercicio que pide para mostrar el siguiente resultado:

Deje $(E,d)$ ser un espacio métrico. Demostrar que un subconjunto $A$ es denso en $E$ iff cada conjunto abierto en $(E,d)$ contiene un elemento de $A$.

Yo estaba pensando en el caso de que el conjunto vacío. Mi pregunta:

"$\emptyset$ contiene un elemento de $A$" es falso o es vacuously verdad?

Si es falsa, entonces la condición necesaria para que la densidad de $A$ siempre será falso, porque siempre habrá el (abierto) conjunto vacío en $E$ que no contiene ningún elemento de $A$. En este caso, lógicamente, $A$ nunca sería un subconjunto denso de $E$. Mi argumento es correcto o me estoy volviendo loco?

Gracias de antemano.

Answer 1

La formulación que se cita es un poco mal, debería haber sido:

Deje $(E,d)$ ser un espacio métrico. Demostrar que un subconjunto $A$ es denso en $E$ iff todos los no-vacío conjunto abierto en $(E,d)$ contiene un elemento de $A$.

Así que no estás volviendo loco. En la formulación se dio ningún conjunto siempre será denso y hemos definido un "vacío de la propiedad". Y el corregido formulación (de un vacío de la verdad, como que no hay vacío abierto subconjuntos de comprobación). de hecho, nos permite incluso a decir que $\emptyset$ es denso en el espacio vacío $\emptyset$.

Answer 2

El conjunto vacío no contiene elementos, de $A$ o a cualquier otro grupo. Este no es un ejemplo de un vacío de la verdad, esto es simplemente falso.

El vacío de la verdad que creo que estás pensando es de la forma $\forall x \in \emptyset, P(x)$, donde $P$ es de algún predicado. No importa lo que el predicado es, o cómo es ridículamente falso podría ser (por ejemplo,"$x$ es una plaza de primera"), la instrucción anterior es cierto, simplemente en virtud de que no hay nada impide que sea falsa. Su negación, $\exists x \in \emptyset : \neg P(x)$, es siempre falso, simplemente porque se afirma la existencia de un elemento $x$ del conjunto vacío.

Pero este no es el caso aquí. Usted tiene un "para todos" declaración; usted está considerando la posibilidad de abrir todos los subconjuntos de $E$, que de hecho incluye el conjunto vacío, y por lo tanto es un conjunto no vacío! Por lo tanto, usted no recibe un vacío de la verdad. En su lugar, ahora tiene un contraejemplo: el conjunto vacío no se cruza con ninguna $A$, por lo que de acuerdo a esta (falsa) de resultado, no hay ningún conjunto es denso.

Answer 3

Deje $p \in X \subset E$ abierto. Así, hay $r > 0$ tal que $B(p, r) \subset X$.

Como $\bar{A} = E$, $p$ es adherente a $A$. Por lo tanto, $B(p,r) \cap A \neq \emptyset$. Por lo tanto, no es $q \in A$ e $q \in B(p,r) \subset X$, esto es, $A \cap X \neq \emptyset$

recíprocamente, supongamos que es absurdo que $\bar{A} \neq E$. Por lo tanto, hay un elemento $x \in E$ tal que $x \not \in \bar{A}$. Por lo tanto, $x \in E - \bar{A} \Rightarrow x \in \mbox{int}(E - A) \subset E - A$. Así, $B(x, \varepsilon) \cap A = \emptyset$, absurdo ! Por lo tanto, $\bar{A} = E$.