Cómo evaluar $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x\ln x\ln y}{1-xy}\frac{dxdy}{\ln(xy)} ?$ $
¿Alguna idea sobre cómo incluso comenzar con esta integral? Me parece imposible.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí un enfoque que debe trabajar para similar integrales, tales como este uno.
Principalmente la idea es el uso de Feynman del truco en dos dimensiones. Considere la siguiente integral:
$$\sf I(n)=\int_0^1\int_0^1 \frac{(xy)^{n-1} x\ln x\ln y}{\ln(xy)}\rm dx\rm dy\Rightarrow I'(n)=\int_0^1\int_0^1 (xy)^{n-1} x \ln x \ln y \,\rm dx\rm dy$$ $$\sf =\int_0^1 x^{n} \ln x \,\rm dx \int_0^1 y^{n-1} \ln y\,\rm dy=\frac{1}{(n+1)^2}\cdot \frac{1}{n^2}$$ Ahora tenemos que volver a $\sf I(n)$. Desde $\sf I(\infty)=0$ tenemos que: $$\sf I(n)=-(I(\infty)-I(n))=-\int_n^\infty \frac{1}{(x+1)^2 x^2 }\rm dx=-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+2\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$$ Por último, observe que: $$\sf \int_0^1\int_0^1 \frac{ x\ln x\ln y}{(1-xy)\ln(xy)}dxdy=\sum_{n=1}^\infty \int_0^1\int_0^1 \frac{(xy)^{n-1} x\ln x\ln y}{\ln(xy)}dxdy$$ $$\sf =-\sum_{n=1}^\infty \left(\underbrace{\frac{1}{n}-\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}_{=\gamma}+\underbrace{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}}_{=-1}+\underbrace{\frac{1}{n}-\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}_{=\gamma}\right)=1-2\gamma$$ Ver aquí para los de arriba.
