Integral

Question

Demostrar, utilizando métodos de primaria, que $$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x(1-x)}(1-x(1-x))}=\frac{4\pi}{3\sqrt 3}$$

He visto esta integral en el siguiente post, sin embargo todas las respuestas presentadas explota análisis complejo o pesados de la serie.

Pero de acuerdo a mickep's respuesta, incluso la integral indefinida poseen una primitiva en términos de funciones elementales. Yo no soy ese loco para intentar y encontrar que de la mano, sin embargo me da una gran esperanza de que podamos encontrar un acercamiento elemental para la integral definida.

Aunque yo volvía a él durante los últimos meses, todavía no tiene éxito, o el avance relevante y agradecería un poco de ayuda.

Answer 1

No una respuesta (aún), sólo algunos pensamientos.

$$I=\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x(1-x)}(1-x(1-x))}=2 \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt[3]{x(1-x)}(1-x(1-x))}$$

Un caso obvio de sustitución:

$$x(1-x)=y$$

$$dx=\frac{dy}{\sqrt{1-4 y}}$$

Por lo tanto tenemos:

$$I=2 \int_0^{1/4} \frac{y^{-1/3} dy}{(1-y) \sqrt{1-4 y}}$$

Sustituyendo:

$$y=u/4$$

$$I=\frac{4^{1/3}}{2} \int_0^1 \frac{u^{-1/3} du}{(1-\frac14 u) \sqrt{1-u}}$$

Esta es claramente una función hipergeométrica, aunque no se considera elemental (lo cual es una pena).

$$I=\frac{4^{1/3}}{2} B \left(\frac{1}{2},\frac{2}{3} \right) {_2 F_1} \left(1,\frac{2}{3}; \frac{7}{6}; \frac{1}{4} \right)$$

Voy a continuar con esta en un par de horas, la integral parece bastante interesante.

Wolfram Alpha no se puede simplificar la expresión anterior a su valor exacto, que es aún más interesante.

Más general de la forma (pero no realmente lo que el OP quiere) sería:

$$I(z)=\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x(1-x)}(1-z x(1-x))}=\frac{4^{1/3}}{2} B \left(\frac{1}{2},\frac{2}{3} \right) {_2 F_1} \left(1,\frac{2}{3}; \frac{7}{6}; \frac{z}{4} \right)$$

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Como para la antiderivada, en términos de Appell función tenemos:

$$I(a)=\int_0^a \frac{dx}{\sqrt[3]{x(1-x)}(1-x(1-x))}= \\ =\frac32 (a(1-a))^{2/3} F_1 \left(\frac23; \frac12, 1; \frac53;4 a(1-a), a(1-a) \right) \\ 0 < a < \frac12$$

Hasta el momento ninguna idea acerca de la forma elemental.

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Además.

$$\int_0^1 \frac{u^{-1/3} du}{(1-\frac14 u) \sqrt{1-u}}=\frac43 \int_0^1 \frac{v^{-1/2} dv}{(1+\frac{1}{3} v) (1-v)^{1/3}}$$

Lo que nos da otro hipergeométrica forma, y otra Appell formulario para la antiderivada.

$$I=I(1)=\frac{2}{3} 4^{1/3} B \left(\frac{1}{2},\frac{2}{3} \right) {_2 F_1} \left(1,\frac{1}{2}; \frac{7}{6}; -\frac{1}{3} \right)$$

Que Wolfram Alpha también no se puede simplificar. Voy a ver más tarde si Mathematica puede hacerlo.

Answer 2

No elemntary a todos por la antiderivada.

Teniendo en cuenta $$I=\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x(1-x)} (1-x(1-x) )} $$

Como Archis Welankar comentó, comenzando con $x=\sin^2(t)$ conduce, después de simplifcations, a $$I=4 \int\frac{ (1-\cos (4 t))^{2/3} \csc (t) \sec (t)}{7+\cos (4 t)}\,dt$$

Ahora, $t=\frac{1}{4} \cos ^{-1}(u)$ conduce a $$I=-2 \sqrt{2}\int\frac{du}{\sqrt[3]{1-u} \sqrt{u+1} (u+7)}$$ $$I=\frac{12 \sqrt{2}}5 \frac{\sqrt{-u-1}}{(1-u)^{5/6} \sqrt{u+1}}F_1\left(\frac{5}{6};\frac{1}{2},1;\frac{11}{6};-\frac{2}{u-1},-\frac{8}{u-1}\right)$$ donde aparece el Appell función hipergeométrica de dos variables.