¿Cuáles son las soluciones continuas a la ecuación funcional$f(x) = \tfrac{1}{2}f(x^2)+\tfrac{1}{2}f(2x-x^2)$?

Question

El conjunto de soluciones es un espacio vectorial e incluye todas las funciones de la forma $f(x)=ax+b$. Pero aparte de estas observaciones no tengo nada que decir sobre el problema. Si ayuda, restringir el dominio de $f$ a la unidad de intervalo.

El problema vino cuando yo estaba tratando de encontrar el comportamiento del final de la siguiente martingala. Deje $\epsilon_i$ ser un ALCOHOLÍMETRO de la secuencia de la feria de coinflips. Set $X_0$ a $x_0$ con $0\le x_0\le 1$, y, a continuación, establezca $X_{i+1}$ a $X_i^2$ si $\epsilon_i$ tierras colas pero a $2X_i-X_i^2$ si $\epsilon_i$ cae de cabeza. A continuación, $X_i$ es una martingala y, de ser $\mathrm{L}^1$acotado, converge casi seguramente por un teorema de Doob. Claramente, los únicos números de la martingala puede converger a se $0$ e $1$. Las posibilidades de convergencia a $1$ como una función de la $x_0$ debe satisfacer la ecuación funcional de arriba.

Answer 1

Supongamos que usted tiene una función continua $f:[0,1]\to\mathbb{R}$. La ecuación es lineal en $f$, por la sustracción de una función lineal, podemos suponer que la $f(0)=f(1)=0$. Ahora vamos a $M$ ser el valor máximo de $f$, alcanzado en algún punto de $c\in [0,1]$. La ecuación funcional ahora implica que $f(c^2)=f(2c-c^2)=M$, ya que de lo contrario su promedio tendría que ser menos de $M$. Pero ahora podemos repetir el mismo argumento con $c$ reemplazado por $c^2$ encontrar $f(c^4)=M$, y de manera similar a $f(c^{2^n})=M$ para todos los $n$. Tomando el límite, llegamos a la conclusión de que, o bien $f(0)=M$ o $f(1)=M$, dependiendo de si $c<1$ o $c=1$. De cualquier manera, $M=0$. Por un argumento similar, el valor mínimo de $f$ también $0$, lo $f$ es idéntica $0$.

Por lo tanto la única de esas funciones son funciones lineales.

De manera más general, un argumento similar se aplica a cualquier función continua $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ en la satisfacción de un funcional de la ecuación $$f(x)=\dfrac{f(g(x))+f(h(x))}{2}$$ where $g,h:[a,b]\a[a,b]$ satisfy $x=\dfrac{g(x)+h(x)}{2}$ and $g(x),h(x)\neq x$ for all $x\in (a,b)$. (Note that the argument may in general require transfinite induction, since iterating the functions $g$ and $h$ may not reach the endpoints of the interval in just $\omega$ pasos.)

Answer 2

Tome $\alpha$ = $x^{2}$ y $\beta$ = $2x-x^{2}$ Vea que la ecuación dada se puede escribir en forma de $$f(\frac{\alpha + \beta}{2})=\frac{f(\alpha) + f(\beta)}{2}$ $ Luego use el hecho de que la condición de igualdad en jensen's la desigualdad se mantiene si $f$ es lineal o constante.