Grupos donde no se conmuta ningún elemento excepto los casos triviales.

Question

Deje $G$ ser un grupo. Escribir $e$ de su elemento neutro y escribir $\langle g\rangle$ para el subgrupo generado por un elemento $g \in G$. Suponga que $G$ tiene las siguientes propiedades:

1. Para todos los $g\in G\setminus\{e\}$ e $h\in G\setminus \langle g \rangle$ tenemos $gh \neq hg$.

2. Propiedad 1. no es vacuo (como sería por ejemplo, para $G=\{e\}$).

Hacer existan tales grupos? Si es así, ¿tienen algún interesantes/importantes propiedades? Tenga en cuenta que este es un seguimiento a esta misma pregunta similar en respuesta a uno de los comentarios que hay.

Answer 1

Vamos a considerar un finito grupo $G$ con esta propiedad.

Deje $P \ne 1$ ser un Sylow $p$-subgrupo de $G$. Si $g$ es un elemento de orden $p$ en $Z(P)$, entonces cada elemento de $P$ viajes con $g$, por lo que $P = \langle g \rangle$.

Por lo tanto todos subgrupo de Sylow primer orden, esto es, el orden de $G$ es squarefree.

De ello se desprende que $G$ es metacíclicos, y en realidad la semidirect producto de dos grupos cíclicos (estoy pensando Schur-Zassenhaus o del Ayuntamiento de teoremas, pero podría ser más simple que eso), que por un argumento similar a la de arriba tiene que ser de primer orden.

De ello se deduce que los grupos finitos con esta propiedad son los no-trivial semidirect productos de un grupo cíclico de primer orden $p$ por un grupo cíclico de primer orden $q \mid p - 1$.

PS Esta discusión relacionada con el puede ser de su interés.

Answer 2

Para proporcionar un medio de contraste a Andreas Caranti la respuesta de un Tarski monstruo $p$-grupo es un ejemplo de una infinita grupo con estas propiedades.

Si $G$ es un Tarski monstruo $p$-grupo (por definición) cada apropiado subgrupo no trivial es cíclico de orden $p$. El centralizador de cualquier elemento no trivial $g$ es un buen subgrupo (desde $G$ ha trivial en el centro), y por lo tanto debe ser $\langle g\rangle$.

Answer 3

Como no ha limitado su pregunta a grupos finitos, otro ejemplo es el grupo gratuito de $n$ generadores, donde $n \gt 1$ .

Editado para agregar: Como se indica a continuación en los comentarios, esto no es correcto porque $g=x^2, h=x$ es un contraejemplo (donde $x$ es un generador del grupo).

Answer 4

El grupo $S_3$ es lo que buscas. Además, dado que su orden es $6$ , es fácil verificar que se cumplen esas condiciones.