Uso del hecho de que cada función es la suma de una función impar y una función par.

Question

Es bien conocido que toda función de variable real $f$ se puede escribir como la suma de una función impar y una función par, a saber $h$ y $g$ donde: $$h(x) = {f(x)-f(-x)\over 2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g(x) = {f(x)+f(-x)\over 2}$$ Ahora, ¿cuál es el uso de este hecho? Le dije esto a mis $\color{red}{\rm estudiantes\;de\;secundaria}$, pero luego no sé qué hacer con este hecho. ¿Es útil para graficar o para calcular los ceros de una función o algo más...?

Answer 1

Cuando te enfrentas a un nuevo problema matemático, hay algunas reglas útiles para salir adelante. Uno de ellos es: ¡Busca las simetrías! A menudo un problema tiene en su formulación una simetría obvia $x\leftrightarrow -x$. Esta simetría podría obligar a que las soluciones también sean simétricas.

Otro ejemplo: Una de las funciones más importantes en análisis es ${\rm cis}:\ t\mapsto e^{it}$. Tiene una fantástica ecuación funcional: ${\rm cis}(s+t)={\rm cis}(s)\cdot {\rm cis}(t)$ para complejos arbitrarios $s$, $t$. Desafortunadamente esta función ${\rm cis}$ es de valores complejos. Pero ${\rm cis}$ tiene una parte par $t\mapsto\cos t$ y (hasta el factor $i$) una parte impar $t\mapsto\sin t$. Estas partes simétricas, respectivamente, antisimétricas de ${\rm cis}$ tienen un inmenso impacto en todo el análisis y sus aplicaciones. De manera similar con las partes par e impar $\cosh$ y $\sinh$ de $x\mapsto e^x$.

No estoy seguro si es importante hacer una teoría general de esto para estudiantes de secundaria.

Answer 2

La idea puede ser útil para generalizar tu resultado:

El grupo $\mathbb{Z}/2$ actúa sobre $\mathbb{R}$ de la siguiente manera:

para cada $x\in \mathbb{R}$ tienes que $\bar{0}x:=x$ mientras que $\bar{1}x:=-x$

La acción puede ser inducida también en el conjunto $V$ de las funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$, que es un espacio vectorial de $\mathbb{R}-$, de la siguiente manera:

para cada $f\in V $ $\bar{0}f:=f$ mientras que

$\bar{1}f=f(-\cdot)$

Así que puedes observar que $\mathbb{Z}/2$ puede ser representado en el espacio vectorial $V$.

Denotamos $(\mathbb{Z}/2)^*$ al grupo de caracteres de $\mathbb{Z}/2$ donde un caracter es un morfismo de $\mathbb{Z}/2$ a $\mathbb{R}$.

Definimos el siguiente espacio propio relacionado con $\mathbb{Z}/2$:

para cada $\chi\in (\mathbb{Z}/2)^*$

$L_\chi:=\{f\in V: g f=\chi(g) f \forall g\in \mathbb{Z}/2\}$

Puedes observar que solo hay 2 caracteres posibles relacionados con $\mathbb{Z}/2$:

$\chi_ 0:=1$

$\chi_1(\bar{0}):=1$ y $\chi_1(\bar{1})=-1$

Ahora puedes observar que

$L_{\chi_0}= \{f: f(x)=f(-x) \forall x\in \mathbb{R}\}$

$L_{\chi_1}= \{f: f(x)=-f(-x) \forall x\in \mathbb{R}\}$

Entonces tienes que $L_{\chi_0}$ es el espacio de funciones pares mientras que $L_{\chi_1}$ es el espacio de funciones impares.

Tienes que para cada $f\in V$ entonces

$\frac{f+\bar{1}f}{2}\in L_{\chi_0}$ mientras que $\frac{f-\bar{1}f}{2}\in L_{\chi_1}$ y

$f= \frac{f+\bar{1}f}{2}+ \frac{f-\bar{1}f}{2}$

así que tienes que

$V=L_{\chi_0}\oplus L_{\chi_1}$

Ahora puedes generalizar este resultado a un conjunto general $X$ cuando un grupo abeliano finito $G$ actúa sobre él:

Para cada $f\in V$, donde $V$ es el espacio vectorial de $\mathbb{K}$ - de las funciones de $X$ a $\mathbb{K}$, con $char(\mathbb{K})\neg | o(G)$, tienes que

$f_\chi:=\frac{1}{o(G)}\sum_{g\in G}\frac{1}{\chi(g)}g f\in L_{\chi}$ para cada $\chi\in G^*$ y

$f=\sum_{\chi\in G^*} f_\chi$ así que

$V=\oplus_{\chi\in G^*} L_\chi$

Este es un resultado útil que a menudo se puede utilizar en la geometría algebraica para estudiar alguna variedad que se pueda ver como una cuociente con respecto a otra variedad y un grupo abeliano finito $G$ que actúa sobre esa variedad.

Answer 3

Podrías relacionarlo con las series de Fourier. No formalmente, por supuesto, pero simplemente insinúa la idea realmente interesante de que puedes escribir una función como una serie de funciones seno (impares) y coseno (pares).

También podrías relacionarlo con las series de Taylor (una vez más, no formalmente, solo como una breve introducción) donde las funciones son sumas de potencias impares (funciones impares) y potencias pares (funciones pares). Y podrías mostrar en tus ejemplos que las funciones impares como sin(x) son las sumas de potencias impares en la serie de Taylor.

Para aplicaciones reales, personalmente nunca he tenido que usar ese hecho para resolver un problema, así que no me preocuparía por su aplicación como herramienta en Matemáticas de Secundaria.