El valor mínimo posible de$f(2007)$ donde$f(m f(n)) = n f(m)$,$m,n\in \Bbb N$

Question

Si $f$ es de enteros positivos para los enteros positivos y satisface

$f(m f(n)) = n f(m)$ , a continuación, encontrar el mínimo valor posible de $f(2007)$.

Mi trabajo hasta el momento:

• $f(1) = 1$ . Prueba:

Supongamos $f(1) = k \neq 1$. A continuación, considere la posibilidad de $f(f(2)) = 2f(1) = 2k$. $f(2) = f(2f(1)) = f(2k),$ $f(f(2)) = 2k,$ pero lo anterior también implica que $f(f(2)) = f(f(2k)) = 2k^2$, una contradicción. Por lo tanto $f(1) = 1$

• Yo, además, que si $f(a) = b$, a continuación, $f(a^x b^y) = a^y b^x$.

Answer 1

Deje $a=f(1)\neq 0$.

• Poner a $m=1$ obtenemos $f(f(n)) =an$ lo $f$ es inyectiva.
• Para $n=1$ obtenemos $f(ma) = f(m)$ así tenemos $ma=m$ lo $a=1$ e lo $f(f(n)) =n$.

Si ponemos $n=f(k)$ obtenemos $f(mk)=f(k)f(m)$ lo $f$ es multiplicativo. Cada función es uniqely determinado por las imágenes de los números primos. Tenemos $$f(2007) = f(3)^2f(223)$$

$f(3)=p$ e $f(223)=q$ son números primos. Desde $$f(p)=f(f(3))=3$$ and $$f(q)=f(f(223))=223$$ the minimum will be if we take $p=3$ and $q=2$. así que la respuesta es $18$?

Answer 2

Ya has demostrado que $f(1)=1$. Conectar $m=1$ a continuación, se deduce que $f(f(n))=n$ para todos los $n$. En particular, $f$ es bijective. Ahora arbitrarias $m$ e $n$, establecimiento $k:=f(n)$ vemos que $f(k)=f(f(n))$ y así $$\forall m,n:\ f(mf(n))=nf(m)\qquad\Leftrightarrow\qquad \forall k,m:\ f(km)=f(k)f(m),$$ lo que muestra que $f$ es completamente multiplicativa. En particular, esto significa que $f(2007)=f(3^2)f(223)$ porque $2007=3^2\times223$.

Ahora vamos a $p$ ser cualquier número primo, y supongamos $f(p)=ab$ para enteros positivos $a$ e $b$. Entonces $$p=f(f(p))=f(ab)=f(a)f(b),$$ así que sin pérdida de generalidad $f(a)=1$. A continuación, $a=f(f(a))=f(1)=1$ e lo $f(p)$ es también el primer. Esto significa que $f$ permutes el conjunto de los números primos. Debido a $f(f(p))=p$ para todos los números primos esto significa $f$ está determinado completamente por una permutación de orden $2$ del conjunto de los números primos.

Yo se lo dejo a usted para comprobar que por el contrario, cada permutación de orden $2$ del conjunto de los números primos determina completamente multiplicativa función que satisface la ecuación funcional. Desde allí es fácil comprobar que el valor mínimo de $f(2007)$ es $2\times3^2=18$.