¿Cómo maximizar $\int_{0}^{1} f(x)^5 dx$ dado $\int_{0}^{1} f(x)^3 dx= 0$ , $\int_{0}^{1} f(x) dx= 0$ y $-1 \le f(x) \le 1$ ?
No estoy seguro de por dónde empezar con este problema, se agradecería cualquier sugerencia.
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timon92
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El valor máximo de $\int_0^1 f(x)^5 \mathrm{d}x$ es $\frac{1}{16}$.
Podemos probar, primero, que $\frac{1}{16}$ es un límite superior.
Tenga en cuenta que si $t\le 1$ entonces $t^5\le \frac{5}{4} t^3 - \frac{5}{16} t + \frac{1}{16}$. De hecho, $$t^5 - \left(\frac{5}{4} t^3 - \frac{5}{16} t + \frac{1}{16}\right) = (t-1)\left(t^2+\frac t2 - \frac 14 \right)^2 \le 0.$$ Poner a $t=f(x)$ e integrando obtenemos $$\int_0^1 f(x)^5 \mathrm{d}x \le \int_0^1 \left(\frac 54 f(x)^3 - \frac{5}{16}f(x)+\frac{1}{16} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{16},$$ puesto que, por hipótesis de $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x =\int_0^1 f(x)^3\mathrm{d}x=0$.
El siguiente ejemplo muestra que el enlazado $\frac{1}{16}$ es óptimo: $$f(x)=\begin{cases} \frac 14 (-1-\sqrt 5) & \text{ for } 0\le x < \frac 25 \\ \frac 14(-1+\sqrt 5) & \text{ for } \frac 25 \le x < \frac 45 \\ 1 & \text{ for } \frac 45 \le x \le 1 \\ \end{casos}$$
CodingBytes
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102
El problema no especifica malo, bueno, o funciones óptimas: Si $f_0$ es óptimo, a continuación, cualquier "medida de preservación de la horizontal reordenamiento" de $f_0$ sobre el $x$-intervalo de $[0,1]$ es admisible y da el mismo objetivo integral como $f_0$. Esto significa que no debemos mirar para determinadas funciones $f$ cumplen las restricciones, pero para las medidas de $\mu$ en el intervalo de $J:=[{-1},1]$ que indican con que el "peso" de cada valor de $y\in J$ debe ser tomada por la $f$s bajo consideración. Estas medidas tienen que cumplir $$\int_J 1\>d\mu(y)=1,\qquad \int_J y\>d\mu(y)=0,\qquad\int_J y^3\>d\mu(y)=0\ ,\tag{1}$$ y lo que queremos es maximizar $$\int_J y^5\>d\mu(y)\ .$$ Una simple medida de este tipo podría ser que $f$ asume los tres valores de $-a$, $b$, e $1$ a $x$-intervalos de longitud de $u$, $v$, $w$. Las condiciones de $(1)$ , a continuación, traducir a $$u+v+w=1,\qquad -a u+ bv + w=0,\qquad -a^3 u+b^3 v+ w=0\ ,$$ que determina el $u$, $v$, $w$. Cuando $0<b<a$ son todos positivos. Haciendo los cálculos que uno encuentra $$\int_J y^5\>d\mu(y)=-a^5 u+b^5 v+w={a(1-a)(a-b)b(1+b)\over1-a+b}\ .$$ La máxima de este se lleva a cabo en $a\approx0.805$, $b\approx0.31$, y conduce a la el valor de $$\int_Jy^5\>d\mu(y)\approx0.0625\ .$$ Este es el mejor que usted puede lograr con un $f$ que sólo tiene tres valores diferentes.
(Mis resultados numéricos encontrados experimentalmente coinciden con los valores definitivos producidos por timon92.)
