A pregunta reciente preguntó por la suma de la suma de la suma de los dígitos de $4444^{4444}$ . La solución allí funciona principalmente porque el número elegido es lo suficientemente pequeño para que la suma de la suma de la suma sea igual a la suma repetida: es decir, si sumamos más dígitos, el resultado no cambia. Dado que encontrar sumas repetidas de dígitos es sólo una cuestión de teoría de números elemental, esto resuelve el problema.
Parece que la siguiente pregunta podría ser mucho más difícil: ¿cuál es la suma de la suma de los dígitos de $$4444^{4444^{4444}}?$$ En otras palabras, que $f: \Bbb N_0 \to\Bbb N_0$ ser la función definida por $f(n)= \textrm {sum of decimal digits of }n$ .
¿Cuál es el valor de $f \left (f \left (4444^{4444^{4444}} \right ) \right )$ ?
En esta cuestión, aún no hemos llegado a un número de un solo dígito, lo que al menos parece hacerlo mucho más difícil.
Algunas estimaciones: el número de dígitos decimales de $4444^{4444^{4444}}$ es igual a $$ \left\lfloor\log_ {10}4444^{4444^{4444}} \right\rfloor +1,$$ lo que implica $$f \left (4444^{4444^{4444}} \right ) \le9\left ( \log_ {10}4444^{4444^{4444}}+1 \right ).$$
A continuación, el número de dígitos de este último número es como mucho $$ \left\lfloor\log_ {10} \left (9 \left ( \log_ {10}4444^{4444^{4444}}+1 \right ) \right ) \right\rfloor +1,$$ que es $16213$ según Wolfram|Alfa . Por lo tanto, $$f \left (f \left (4444^{4444^{4444}} \right ) \right ) \leq9\cdot16213 =145917.$$
Así que el número que estamos buscando tiene como máximo $6$ dígitos. Esto hace que sea muy factible de expresar en notación decimal, pero posiblemente difícil de encontrar.
Podríamos estar más interesados en números como $$f \left (f \left (f \left (4444^{4444^{4444^{4444}}} \right ) \right ) \right ),$$ así que una pregunta relacionada sería:
¿Existe alguna esperanza de contar con un método general de evaluación de esas funciones o es el comportamiento de la $k$ -composición de pliegues $f^k$ completamente caótico?
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Huele a una aplicación avanzada del teorema del resto chino.
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@Auke: Puedo preguntar, ¿qué módulos hueles?
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@MarcvanLeeuwen: mod 10, mod 100, mod 1000, etc.
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@Anke: El teorema del resto chino no funciona muy bien para los módulos que son múltiplos entre sí.
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¿Has visto este ? Creo que se puede utilizar el mismo hilo de idea y extenderlo recursivamente a una noción superior.
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@Iyengar: Interesante... Sin embargo, no veo muy bien cómo ampliar esto, ya que la función sólo es periódica para valores pequeños y, por lo demás, parece algo caótica ... Si tienes una idea concreta de cómo hacerlo, me encantaría saberlo.
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@Iyengar: sin embargo es incorrecto cuando $f(f(f(n)))$ tiene más de un dígito, como es el caso. La conjetura es que sólo tiene un dígito para todos $n$ que sabemos que es falsa.
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Oh, esto es 5 años de edad, sin embargo, la pregunta fantástica que es, sin duda, en mis aspiraciones de ser explícitamente capaz de responder, pero voy a decir, es sólo un ejemplo de una amplia gama de problemas que necesitan ser resueltos, me han referido previamente al material con respecto a algo llamado "Knuth flecha hacia arriba" y lo hice tratando de tomar todo lo que leí a bordo, pero mi duro formalismo simplemente no lo aceptan, y no creo que voy a ser verdaderamente satisfecho hasta que entienda la iteración de la exponenciación en la misma medida que lo hago la suma y la multiplicación