¿Por qué la dualización no invirtió todas las flechas en este caso?

Question

He aquí dos citas de Leinster del libro:

De acuerdo a la primera cita de un dual se obtiene mediante la inversión de todas las flechas.

Según la segunda cita, el segundo par de functors es el doble de la primera.

Pero si es así, ¿por qué no las flechas (en la categoría de categorías y functors) en el segundo par a la inversa (van de izquierda a derecha)? Y por qué no se las flechas en $\mathbf{Set}$ invierte (es decir, ¿por qué no $\mathbf{Set}$ reemplazado con $\mathbf{Set}^{op}$)? Tan lejos como puedo ver, solo las flechas en $\mathscr A$ son a la inversa. Por qué así?

Si es más fácil para responder a qué es exactamente "dual" significa (en el marco de Leinster hasta p.90), que sería demasiado grande.

Answer 1

La forma en que la dualidad principio es enunciado está destinado a dar algunas inicial de la intuición, pero no es conveniente (y, teniendo en cuenta la calificación como "informal", no destinados a ser utilizados) para la solicitud formal. Una de las razones que ya he mencionado: Hay categórica construcciones donde el 'doble' no se obtiene mediante la inversión de 'todas' las flechas. En segundo lugar, mientras que el párrafo introductorio se puede leer a sugerir esto, dual construcciones o pruebas no será necesario llevar a cabo 'de nuevo', pero son en realidad formal de las consecuencias de la construcción original.

Un intento para una formal declaración de la dualidad principio sería:

Para cada afirmación general de $\forall{\mathscr A}: {\mathsf P}({\mathscr A})$ sobre las categorías, formulado en algunos fijos contexto (tal vez en relación con otras categorías) categorías, no es un 'doble' genérica declaración de $\forall{\mathscr A}: {\mathsf P}({\mathscr A}^{\text{op}})$, que es equivalente a la original.

Tenga en cuenta que el contexto de la declaración de las estancias de la misma - dualization se aplica a la única categoría de la declaración es paramétricas más. En el ejemplo de la Yoneda Lema, el parámetro es ${\mathscr A}$, y la instrucción es que un hormigón canónica de asignación describe un functor ${\mathscr A}\to [{\mathscr A}^{\text{op}},\textsf{Set}]$. La doble declaración de ahí se dice que por cualquier ${\mathscr A}$ , un concreto canónica de asignación de describir un functor ${\mathscr A}^{\text{op}}\to [{\mathscr A}^\text{op op}(\equiv {\mathscr A}),\textsf{Set}]$.

Answer 2

La dualidad no funciona de la manera que parece que piensa. El punto es que si $\mathcal{A}$ es una categoría, por lo que es $\mathcal{A}^{op}$, y si algo es cierto de cada categoría, entonces también es cierto para el dual de cada categoría. La razón por la que no invertir todo es debido a que el teorema anterior es un teorema acerca de una categoría arbitraria $\mathcal{A}$, no se trata de un arbitrario diagrama de $\mathcal{A}\to \mathrm{whatever}$.

Aquí, la declaración es que, para cualquier categoría de $\mathcal{A}$, existe un functor $H^*:\mathcal{A}^{op}\to [\mathcal{A},\mathbf{Set}]$. Ya que es cierto para cada categoría, también es cierto para $\mathcal{A}^{op}$; es decir, hay un functor $\mathcal{A}=(\mathcal{A}^{op})^{op}\to [\mathcal{A}^{op},\mathbf{Set}]$ toma de $a\in \mathcal{A}$ a $$\mathcal{A}^{op}(a,-):\mathcal{A}^{op}\to\mathbf{Set}$$ which, by the definition of $\mathcal{A}^{op}$, is exactly the same as the functor $\mathcal{A}(-,a)=H_a$.

Answer 3

• Cada categórica definición, teorema, y la prueba tiene un doble, obtenidos mediante la inversión de todas las flechas.

• En este caso, específicamente, ¿qué estamos dualizing—una definición, teorema, la prueba?

• Dada una categoría $\mathscr{A}$, tenemos una receta para la construcción de un functor $\hom^\bullet : \mathscr{A}^{op} \rightarrow [\mathscr{A}, \mathrm{Set}]$.

• Si elegimos dualize por revertir las flechas dentro de $\mathscr{A}$— que es, el intercambio de las etiquetas de dominio y codominio en $\mathscr{A}$—y sin hacer otros cambios, se pueden obtener diferentes functor receta. Esto es debido a que hemos dualized todas las referencias a la receta del argumento (la categoría de $\mathscr{A}$).

• El resultado functor es $\hom_\bullet : \mathscr{A}\rightarrow [\mathscr{A}^{op}, \mathrm{Set}]$. Usted puede confirmar que hemos hecho exactamente los cambios que se derivan de revertir las flechas dentro de $\mathscr{A}$.

• O en otras palabras, nos preguntamos qué nuestro functor receta sería si intercambiamos cada mención de "el dominio en el $\mathscr{A}$" y "el codominio dentro de $\mathscr{A}$".

• Le pedimos a este dualization pregunta y no una diferente dualization pregunta porque parecía que había una sistemática receta para la construcción de un functor de una categoría $\mathscr{A}$— y dualization debería darnos otra, posiblemente interesante, functor receta para la categoría de $\mathscr{A}$.

• El original functor receta le permite tomar cualquier categoría y construir un functor $\hom^\bullet$ fuera de ella. Por la dualidad, no debe ser otro functor receta (obtenido por dualizing las referencias a su "ingrediente activo", la categoría" $\mathscr{A}$) que le permite tomar cualquier categoría y construir una similar hom functor fuera de él.