¿Cómo man ceros en la representación decimal de$5^n$?

Question

Tengo curiosidad acerca de algunas propiedades de las potencias de 5 $$5^2=25,\quad5^3=125,\quad 5^4=625,\quad 5^5=3125,\quad ...$$ Es cierto que, al menos, $50$% de los dígitos en la representación decimal de $5^n$ son no-cero? Esto parece bastante modesto ya que suponiendo que cada dígito será igualmente probables, sólo alrededor de $10$% de los dígitos será cero en promedio. El primer cero se produce en $5^8=390625$ y el poder con el mayor porcentaje de ceros parece ser $$5^{45}=28421709430404007434844970703125$$ en que $\approx 22$% de los dígitos son cero. He comprobado hasta $5^{1000}$.

La dificultad es la afirmación no parece tan evidente, desde una perspectiva probabilística, sin embargo, no puedo precisar cualquier definitiva teoremas!

Obviamente, los primeros y los últimos 3 dígitos siempre va a ser distinto de cero así que tenemos al menos 4 de no-cero dígitos. Pero estoy esperando a probar algunas propiedades sobre $5^n$ en general que requieren de la no-cero dígitos al menos lineal en $n$. Por lo $50$% sería más que suficiente. Realmente cualquier probabilidad de $\epsilon>0$ va a hacer, cuanto más grande mejor, aunque.

Tal vez analizar $\langle 5 \rangle^\times$ en $\mathbb{Z}/10^k\mathbb{Z}$? Podría la teoría de la probabilidad de producir el límite en cuestión?

Answer 1

Una buena imagen vale más que mil palabras. Parece que el número de ceros está creciendo en forma casi lineal con una buena cantidad de "ruido" en torno a la meadian línea. Aquí están los resultados para un número de ceros en $5^n$ a $n=10,000$

No mucho va a cambiar si se amplía el rango de a $n=20,000$:

Ajuste lineal da la siguiente aproximación:

$$n_{zero}=0.0699383 n-0.606536$$

...which means that the number of zeroes is roughly around 7%.

Mathematica provides the following regression analysis:

$$\begin{array}{l|llll} \text{} & \text{Estimate} & \text{Standard Error} & \text{t-Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline 1 & -0.606536 & 0.354669 & -1.71015 & 0.0872544 \\ x & 0.0699383 & 0.0000307141 & 2277.07 & 5.874\cdot 10^{-24155} \\ \end{matriz}$$

If you try to fit the data with a parabola you get the following approximation:

$$n_{zero}=0.0931693 + 0.0697284 n+1.0494\cdot 10^{-8}n^2$$

In the given range, the quadratic term is almost neglectable which supports the conjecture that the relation between the exponent and the number of zeroes is approximately linear.

EDIT: Fun fact: $5^{58}$ no tiene un solo cero.

EDIT 2: código de Mathematica para jugar con:

countZeros[n_] := Module[
   {m, cnt, d},
   m = n;
   cnt = 0;
   While[m > 0,
    d = Mod[m, 10];
    If[d == 0, cnt++];
    m = Quotient[m, 10];
    ];
   Return[cnt];
   ];

analyzeExponents[limit_] := Module[
   {i, data, exp},
   i = 0;
   exp = 1;
   data = {};
   While[i <= limit,
    i++;
    exp *= 5;
    AppendTo[data, {i, countZeros[exp]}];
    If[Mod[i, 100] == 0, Print["Reached i=", i]];
    ];
   Return[data];
   ];

ListPlot[analyzeExponents[10000]]