Sé que es posible diferenciar un vector con respecto a otro vector. Sin embargo, esto me hizo preguntarme si es posible integrar un vector con respecto a otro vector. Como por ejemplo: $$ \int \vec{v} \space d\vec{v} $ $ Donde $\vec{v}$ es un vector desconocido. ¿Es esto o algo similar posible? En caso afirmativo, ¿en qué condiciones?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Como janmarqz preguntado, ¿qué tipo de productos de vectores qué piensa? Hay dos maneras para multiplicar dos vectores producto escalar y producto vectorial. Si te refieres a punto del producto a continuación, escribir $\vec{v}= <x, y, z>$ e $d\vec{v}= <dx, dy, dz>$, a continuación, $\int \vec{v}\cdot d\vec{v}= \int xdx+ ydy+ zdz= \frac{1}{2}(x^2+ y^2+ z^2)+ C$.
Si te refieres a la cruz del producto, a continuación, $\vec{v}\times d\vec{v}= (ydz- zdy)\vec{i}+ (zdx- xdz)\vec{j}+ (xdy- ydx)\vec{k}$. Puesto que las integrales de cada componente es yz - zy= 0, zx - xz= 0, y xy - yx= 0, $\int \vec{v}\times d\vec{v}= \vec{0}$, el 0 del vector. (Más simplemente, $\vec{v}$ e $d\vec{v}$ son vectores en la misma dirección, de forma que su producto vectorial es el vector 0.)
user496634
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Como se ha dicho por otros en los comentarios, para responder a esta pregunta primero debemos especificar qué tipo de producto se destina entre el diferencial de $d\vec{v}$ y el integrando. Si el producto que tenemos en mente es el producto escalar, entonces esta integral existe.
Deje $\vec{F}:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ ser un campo de vectores. Entonces la integral $$\int_\gamma\vec{F}(\vec{v})\cdot d\vec{v}$$ donde $\gamma$ es un camino en el $\mathbb R^n$, puede ser definido. Si interpretamos $\gamma$ como la trayectoria de una partícula y de interpretar $\vec{F}$ como una fuerza, luego de una intuitiva interpretación de esta integral es como la continua suma de fuerzas que actúan sobre la partícula a medida que viaja a lo largo de su camino. Esta es una cantidad física que se conoce como de trabajo, el cual es extremadamente útil en la física.
