Estabilidad de sistemas lineales variables en el tiempo.

Question

Considere el siguiente sistema lineal de variación de tiempo (LTV)

PS

Si $$\dot{x} = A(t)x$ satisface

PS

entonces, ¿es suficiente concluir que el sistema variable en el tiempo es estable?

Estoy buscando referencias donde se explique esta condición de suficiencia.

Answer 1

Es agradable ver una interesante discusión y permítanme por favor resumir. La respuesta a tu pregunta es "Sí" si le preguntas a la estabilidad en el sentido de Lyapunov, y "No" si usted pregunta por la convergencia asintótica. En otras palabras, la condición de $\operatorname{eig}\left(A(t)+A^\top(t)\right)<0$ es suficiente para decir que $x(t)$ es acotado, y no es suficiente para decir que $x(t)\to 0$. Un buen ejemplo fue dado por @Dmitry. De hecho, para $\dot{x}(t)=-e^{-t}x(t)$ e $x(0)=1$ tenemos $x(t)=e^{-1+e^{-t}}$ e $x(t)\to e^{-1}\ne 0$. Al mismo tiempo, tenemos la función de Lyapunov análisis de la muestra (falsamente) que el sistema converge. ¿Cómo es posible?

Ok, veamos qué sucede con la función de Lyapunov. Definir $V(x):=x^\top x$. Entonces, como se muestra arriba, tenemos $\dot{V}(x,t) = x^\top(t)\left(A(t)+A^\top(t)\right)x(t) \le 0$. Así llegamos a la conclusión de que $\dot{V}(x,t)<0$ para $x\ne 0$. Así, a partir de esta desigualdad tenemos la certeza de que $V(x)$ es limitada y no aumenta, por lo que de inmediato obtener ese $x(t)$ es también limitada. Con alguna norma de argumentos, incluso podemos demostrar que el equilibrio $x=0$ es de Lyapunov estable; sin embargo, no implica la convergencia!

Ahora la parte difícil. Es la condición de $\dot{V}(x,t)<0$ suficiente para mostrar que $V(x)\to 0$ e $x\to 0$? Sí a los sistemas autónomos y no para los no-sistemas autónomos! Cuando tenemos $\dot{x}=f(x)$ e $\dot{V}(x,t)=\dot{V}(x)<0$, luego esta desigualdad es uniforme en el tiempo, y nosotros a la verdad, a la conclusión de que $V(x)\to 0$. Cuando tenemos $\dot{x}=f(x,t)$, entonces el tiempo derivado de la $V(x)$ es una función del tiempo, así como la desigualdad en $\dot{V}(x,t)<0$ no es necesario uniforme en el tiempo. Esto es exactamente lo que sucede con el ejemplo anterior. Si tomamos $V(x):=\frac{1}{2}x^2$, o $$V(t)= \frac{1}{2}\exp\left(-2+2e^{-t}\right),$$ then $\dot{V}(x,t) = -e^{-t}x^2$, or $$\dot{V}(t) = -e^{-t}\exp\left(-2+2e^{-t}\right).$$ We see that the negative definiteness of $\dot{V}(x,t)$ is not uniform in $t$, and the Lyapunov's second method for autonomous systems cannot be applied. Indeed, $\dot{V}(t)\a 0$ and $V(t)$ converge a un valor distinto de cero constante.

Ok, así que ¿qué necesitamos para reclamar la convergencia? Necesitamos la uniformidad. La forma estándar es mostrar que existe una continua positiva definida la función de $W(x)$, de tal manera que $\dot{V}(x,t)\le -W(x)$ para todos los $t$. A continuación, la convergencia asintótica para el origen de la siguiente manera. Para el tiempo lineal de la variable en el sistema la suficiente para que asintótica (exponencial) condición de convergencia es que existe una constante $\alpha>0$ tales que $$\operatorname{eig}\left(A(t)+A^\top(t)+\alpha I\right)\le0,$$ or, equvalently, $A(t)+A^\la parte superior(t)\le -\alpha I$, where $I$ is the identity matrix. Then we have $$\dot{V}(x,t) = x^\top(t)\left(A(t)+A^\top(t)\right)x(t) \le -\alpha x^\top x = -W(x).$$

Answer 2

A partir de la ecuación diferencial

$\dot x = A(t)x \tag 0$

deducimos

$\dot {\Vert x \Vert^2} = \dfrac{d}{dt}\langle x, x \rangle = \langle \dot x, x \rangle + \langle x, \dot x \rangle$ $= \langle A(t)x, x \rangle + \langle x, A(t)x \rangle = \langle x, A^T(t)x \rangle + \langle x, A(t)x \rangle = \langle x, (A^T(t) + A(t))x \rangle. \tag 1$

Ahora $A^T(t) + A(t)$ es una matriz simétrica para todos los $t$, por lo que sus autovalores son reales, y la condición de

$\text{Eig}(A^T(t) + A(t)) < 0 \tag 2$

presumiblemente significa, dijo autovalores son todos negativos; de esto se sigue que

$\forall t, \; \langle x, (A^T(t) + A(t))x \rangle < 0; \tag 3$

la combinación de (1) y (3) los rendimientos

$2\dot{\Vert x \Vert} \Vert x \Vert = \dot {\Vert x \Vert^2} < 0, \tag 4$

que mientras

$\Vert x \Vert \ne 0 \tag 5$

implica

$\dot{\Vert x \Vert} < 0, \tag 6$

es decir, mientras $x \ne 0$, por lo que

$\Vert x \Vert > 0, \tag 7$

$\Vert x(t) \Vert$ es monótonamente decreciente, y por lo tanto el sistema es estable. $OE\Delta$.

Answer 3

Considere el sistema de $\dot{x}=-xe^{-t}$. Este sistema no converge a $x(t)=0$ como $t\rightarrow \infty$ desde el lado derecho disminuye más rápido que de forma exponencial y, por tanto, $x(t)$ converge a algunos finito valor distinto de cero $0<x^*<x(t_0)$.

Tenga en cuenta que el autovalor es $-e^{-t}<0$ para todos los $t\in[0,\infty)$.

Este ejemplo nos dice que para exponencial de la estabilidad de los autovalores se debe no sólo tienen partes reales negativas, pero también se apartó de cero.