Prueba de que $3^n$ nunca es congruente con $7 \bmod 1000$

Question

He estado leyendo ¡Matemáticas en abundancia! de James Tanton. Tiene una breve prueba elegante y accesible de la existencia de una potencia de 3 que termina en 001. Luego se pregunta si una potencia de 3 termina alguna vez en 007.

Esto equivale a preguntar si $3^n = 7 \bmod1000$ .

Puedo forzar la respuesta usando WolframAlpha pero no puedo encontrar una prueba elegante.

Esta pregunta me está volviendo loco desde hace un mes. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Supongamos que $3^n\equiv7\bmod1000$ entonces $3^n\equiv7\bmod8$ como $8\mid1000$ . Pero el cálculo de los poderes de $3$ modulo $8$ sólo da $1,3,1,3\dots$ alternando; $7$ nunca aparece. Así, ningún poder de $3$ termina en $007$ .