¿Por qué este proceso, al afirmar, tienden a un cierto número? (el cociente de oro?)

Question

1. Tomar cualquier número $x$ (edición: x debe ser positivo, je)
2. Añadir 1 a $x+1$
3. Encontrar su recíproco $1/(x+1)$
4. Repetir de 2

Así, $x = 1$ a inicio:

• 1
• 2 (+ 1)
• 0.5 (el recíproco)
• 1.5 (+ 1)
• 0.666... (el recíproco)
• 1.666... (+ 1)
• 0.6 (el recíproco)
• 1.6 (+ 1)
• 0.625
• 1.625
• 0.61584...
• 1.61584...
• 0.619047...
• 1.619047...
• 0.617647058823..

etc.

Si nos fijamos en el "paso 3"'s (recíprocos), obtenemos:

• 1
• 0.5
• 0.666...
• 0.6
• 0.625
• 0.61584...
• 0.619047...
• 0.617647058823..

Esto parece siempre convergen a 0.61803399... no importa dónde empezar. Miré hacia arriba de este número, y es a menudo llamado "The golden ratio" - 1, o $\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1$.

1. Hay alguna "matemáticas" en forma de representar el procedimiento anterior (o de los términos de la segunda serie, de "sólo recíprocos") como un límite o una serie?
2. ¿Por qué este convergen a lo que se hace por cada punto de partida $x$?

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edit: nada, me acabo de dar cuenta que la proporción áurea es en realidad 1.618... y no 0.618...; he editado mi respuesta para cambiar lo que el resultado es aparentemente (cociente de oro - 1).

Sin embargo, creo que podría fácilmente hacer que el cociente de oro por tomar el +1 "pasos" de la serie original, en lugar de la reciprocidad pasos de la serie original:

• 2
• 1.5
• 1.666...
• 1.6
• 1.625
• 1.61584...
• 1.619047...
• 1.617647058823..

que hace converger a $\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1$

Explicar cualquiera de estas series es la adecuada, ya que creo que explica también explica la otra.

Answer 1

Usted está repitiendo la operación $$x\mapsto\frac1{x+1}.$$ Podemos representar esto en la matriz de términos. Conjunto $$A=\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&1\end{pmatrix}.$$ Si $$A \begin{pmatrix} x\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y_1\\ z_1\end{pmatrix}$$ a continuación,$1/(x+1)=y_1/z_1$. Después de $n$ iteraciones uno se $$A^n \begin{pmatrix} x\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y_n\\ z_n\end{pmatrix}$$ y $x_n=y_n/z_n$ se obtuvo mediante la aplicación del mapa $x\mapsto 1/(x+1)$ $n$ veces a $x$.

Naturalmente, no se sorprendió al encontrar que los autovalores de $A$ $\tau=\frac12(1+\sqrt5)$ $\tau=\frac12(1-\sqrt5)$. Los vectores propios se $v=(1\ \tau)^t$$w=(1\ \tau')^t$. Podemos escribir $$\begin{pmatrix} x\\ 1\end{pmatrix}=av+bw$$ y así $$\begin{pmatrix} y_n\\ z_n\end{pmatrix}=\tau^n v+b\tau'^nw.$$ Ahora $\tau>1>|\tau'|$ así que para los grandes $n$, $y_n$ y $z_n$ están muy cerca de $a\tau^n$$a\tau^{n+1}$ de modo que $x_n\to\infty$ si $a=0$. La única excepción es cuando se $a=0$ que sólo surge para $x=-\frac12(1+\sqrt5)$. (Apuesto a que usted no prueba que uno!)

Answer 2

Queremos mostrar que la función de $f(x) = \frac{1}{1+x}$ tiene un único punto fijo al que converge al afirmar en positivo $x$. Si $x$ es positivo, $f(x)$ entre $1$$0$, lo $f(f(x))$ entre $1$$\frac{1}{2}$. No es difícil ver que, de hecho, $f$ corrige el intervalo de $\left[ \frac{1}{2}, 1 \right]$. Ahora, para $x, y$ en este intervalo,

$$\left| \frac{1}{x+1} - \frac{1}{y+1} \right| = \left| \frac{y-x}{(1+x)(1+y)} \right| \le \frac{4}{9} |x - y|$$

así que, en este intervalo de $f$ satisface las condiciones del punto fijo de Banach teorema. El único punto fijo para que todo lo que siempre converge es la única solución a $f(x) = x$, que ya se ha encontrado.

Answer 3

Se suponía que esto iba a ser un apéndice de Hans comentario, pero lo tengo muy largo.

La iteración Justin considerar formalmente genera un continuo fracción:

$$\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\dots}}$$

y como he mencionado en esta respuesta, los numeradores y denominadores de la enésima convergente de forma continuada, una fracción puede ser calculada de forma recursiva.

Si aplicamos la fórmula en la que la respuesta a esta situación, tenemos

$$\begin{bmatrix}C_n\\D_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C_{n-1}\\D_{n-1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}C_{n-2}\\D_{n-2}\end{bmatrix}$$

con las condiciones iniciales

$$\begin{bmatrix}C_{-1}\\D_{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix}C_{0}\\D_{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$$

A partir de aquí, la instalación es ahora similar a la de Robin contestar, ya que los dos repeticiones en el hecho de generar los números de Fibonacci: $C_n=F_n$ $D_n=F_{n+1}$

Su continuación en la fracción es el límite

$$\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n+1}}$$

y la equivalencia a Robin respuesta es debido a la fórmula de Binet:

$$F_n=\frac{\varphi^n-\left(-\varphi^{-1}\right)^n}{\sqrt{5}}$$

(que de hecho puede ser derivada a partir de Robin respuesta).

La sustitución que en el límite y la evaluación, obtiene la respuesta.

Answer 4

Aquí hay otra manera de mirarlo.

Primero, considere el caso especial de la partida con $1$.

Considere lo que sucede cuando $\displaystyle x = \frac{f_n}{f_{n+1}}$ donde $f_n$ $n^{th}$ número fibonacci.

Consigue $$\frac{1}{\frac{f_n}{f_{n+1}} + 1} = \frac{f_{n+1}}{f_n + f_{n+1}} = \frac{f_{n+1}}{f_{n+2}}$$

Desde $\displaystyle 1 = \frac{f_1}{f_2}$

vemos que después de $n$ iteraciones, $\displaystyle x = \frac{f_{n+1}}{f_{n+2}}$

Esto se puede generalizar para cualquier otro valor de partida, mediante el uso de una como la secuencia de Fibonacci, la cual satisface la recurrencia $\displaystyle a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}$ y en escoger las $a_{2}$$a_{1}$, de modo que $\displaystyle \frac{a_1}{a_2}$ es el valor inicial para $x$.

El $n^{th}$ valor $x$ será dado por $\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}$

La fórmula general para esta secuencia está dada por $a_{n} = A\alpha^n + B\beta^n$ donde $\alpha,\beta$ son raíces de $\displaystyle z^2 = z + 1$ y por lo tanto el límite de $\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}$ pueden ser fácilmente encontrados, que será uno de los $1/\alpha$ o $1/\beta$ (que también se puede ver, suponiendo que hay un límite de $1/L$ y ajuste de $\displaystyle 1/L = \frac{1}{1+1/L}$).

Answer 5

Definir la función de $f(x) = \frac1{1+x} $ por lo que el proceso definido es sólo va de x a f(x). deje $x_0\in\mathbb{R}$ $x_{i+1} = f(x_i)$ luego de que su reclamo es que $\lim\; x_i = \frac {1+\sqrt{5}}{2} $. si esta serie converge, entonces $x = \lim\; x_i = \lim\; f(x_{i-1}) = f( \lim\; x_{i-1} ) = f(x)$ por lo que el límite es $x=\frac{1}{1+x}$ o en otras palabras, usted tiene $x^2+x-1=0$. las soluciones se $\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ esto no es exactamente la proporción áurea. si usted toma $\frac1{x-1}$ en lugar de eso lo tendrás. usted todavía necesita saber para que $x_0$ esta secuencia converge - esto podría hacerse mediante el análisis numérico (lo siento, estoy un poco oxidado en esto, así que voy a dejar esta parte para alguien más).