Tiempo mínimo para llegar a B desde A: Olimpiada de Matemáticas de Irán 2001

Question

En esta foto: un corredor quiere llegar a B a partir de A. la Velocidad en el espacio en Blanco es $10 m/s$ y en marrón espacio es $5 m/s$. ¿cuál es el tiempo mínimo que se necesita? Puedo subir la imagen original de la pregunta, pero se escribió en Persa. Suponga que el Marrón de la región es una desenfrenada de la banda a lo largo de la $y$ eje.

$$a)\sqrt{26}$$ $$b)\sqrt{20}$$ $$c)5$$ $$d)\sqrt{30}$$ $$e)\sqrt{34}$$

Answer 1

Ninguna de las respuestas son correctas. El tiempo mínimo es un número algebraico de grado 8, como voy a mostrar.

Modelo el problema de que el corredor que se inicia en el origen, $B=(40,30)$ y la lentitud de la tira es $20<x<30$. Ahora vamos a el corredor de cumplir con la lentitud de la tira en $(20,a)$ y de salida en $(30,b)$, con líneas rectas en el medio. El tiempo es entonces $$s=\newcommand{hypot}{\operatorname{hypot}}\frac{\hypot(20,a)}{10}+\frac{\hypot(10,b-a)}5+\frac{\hypot(10,30-b)}{10}$$ Me convirtió en una expresión polinómica en $a,b,s$, a continuación, utilizando técnicas muy similares a los utilizados en otra respuesta de mina, derivado de un mínimo de polinomios para las tres variables: $$s^8-68s^6+5266s^4-177036s^2+845325=0;s=6.121773\dots$$ $$27a^4-1080a^3+24800a^2-576000a+5760000=0;a=17.661784\dots$$ $$27b^4-2700b^3+103400b^2-1758000b+11070000=0;b=21.169107\dots$$

Answer 2

Supongo que el corredor se mueve como esta imagen:

Calcular el tiempo de movimiento:

$$t=\frac{d_{1}}{10} + \frac{d_{2}}{5}+\frac{d_{3}}{10}=\frac{d_{1}+d_{2}+d_{3}}{10}+\frac{d_{2}}{10} $$

sabemos que $d_{1}\ge20$, $d_{2}\ge10$ e $d_{3}\ge10$ También : ruta Directa entre $A$ e $B$ tiene la longitud mínima: Así $d_{1}+d_{2}+d_{3}\ge AB$. Y $AB=50$

$$ t \ge \frac{AB}{10}+1\ge 6$$

Así que tiempo mínimo es de al menos $6$.

Si puedo mover horizontalmente en marrón región, es absolutamente tomar más de $6$ segundos.

Answer 3

Que sería el mismo camino que un rayo de luz que iba a llevar, a través de los medios de comunicación con diferentes índices de refracción.

Sin pérdida de generalidad, podemos mover la "arena" de la raya para que se inicie en B. A continuación, la óptica de la analogía nos dirá que el índice de refracción del "arena" es $2$ y que $$ \sin \theta _{\,2} = 2\sin \theta _{\,1} $$

Sin entrar en cálculos precisos, se puede considerar que
$$ 3/4 < \tan \theta _{\,2} < 1 $$ de modo que $\theta _{\,1} $ será aproximadamente de $\pi / 8$ , lo que significa que $ \tan \theta _{\,1} \approx \sqrt{2}-1 \approx 0.4$.

Por lo tanto, el camino va a entrar en la franja de arena acerca de $4$ m por debajo de la $B$.

El tiempo es entonces aproximadamente $$ t \aprox {{\sqrt {100 + 16} } \over 5} + {{\sqrt {900 + 26^{\,2} } } \más de {10}} \approx {{11} \over 5} + {{40} \over {10}} \approx 6.2 \approx \sqrt {38} $$ y sí, $\sqrt {34}$ parece ser demasiado baja.

Tenga en cuenta que el camino que va hacia arriba en $45^\circ$y luego horizontalmente a través de la "arena" tomaría $$ t = {{10} \over 5} + {{\sqrt {1800} } \over {10}} = 2 + 3\sqrt 2 = 6.24 $$ mientras que la línea recta de $A$ a $B$ tomaría $$ t = {{\sqrt {100 + 900/16} } \over 5} + {{30\sqrt {1 + 9/16} } \over {10}} = {{50} \más {20}} + {{150} \más {40}} = {{250} \más de {40}} = 6.25 $$

-- notas --

La óptica de la analogía ayuda en decir que, los tramos de ruta de a a B que alcanza el mínimo de tiempo para ser atravesado deberá obedecer a la Refracción de la Ley $$ {{\sin \theta _{\,1} } \over {\sin \theta _{\,2} }} = {{v_{\,1} } \over {v_{\,2} }} = {{n_{\,2} } \over {n_{\,1} }} $$ lo cual es válido también para la mecánica de partículas (y para los seres humanos).

Desde que la ley es bidireccional, entonces vamos a tener la situación que se muestra en este dibujo, para confirmar que la posición horizontal de la franja de arena es ininfluential en el tiempo total.

La solución exacta se va a traducir en la búsqueda de la solución a $$ \eqalign{ & 10\tan \theta _{\,1} + 30\tan \theta _{\,2} = 30\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad 10{{\sin \theta _{\,1} } \over {\sqrt {1 - \sin ^{\,2} \theta _{\,1} } }} + 30{{2\sin \theta _{\,1} } \over {\sqrt {1 - 4\sin ^{\,2} \theta _{\,1} } }} - 30 = 0 \cr} $$ lo que conduce a un 4 º grado de la ecuación, como ya se ha evidenciado en una respuesta anterior.

Answer 4

Atravesar la franja de arena lleva la misma cantidad de tiempo que atravesar el doble del área blanca, por lo que si reemplazamos la arena con una franja blanca del doble de ancho, la misma cantidad de tiempo tomará la misma distancia. $t = \sqrt{30^2+50^2}/10=\sqrt{34}$ , o respuesta (e).