Ventajas de utilizar la notación bra-ket

Question

Tengo curiosidad por saber si la gente utiliza la notación bra-ket en QM por alguna razón más allá de la convención.

¿Existe alguna ventaja en el uso de la notación bra-ket sobre la notación algebraica lineal ordinaria? ¿Se representan ciertas operaciones relevantes para la QM de forma más compacta en la notación bra-ket? ¿O aclara la notación bra-ket las relaciones entre ciertos conceptos de álgebra lineal?

Answer 1

La notación Bra-ket es útil porque permite eliminar el exceso de superíndices y subíndices.

Por ejemplo, en notación vectorial convencional se podría llamar a los vectores unitarios en el espacio 3D $\vec{e}_x$ , $\vec{e}_y$ y $\vec{e}_z$ . Hay algo así como " $\vec{e}$ " que "cuelga un índice", para especificar a qué vector base se refiere. Pero en notación bra-ket, puedes escribir el índice por sí mismo, como $|x \rangle$ , $|y \rangle$ y $|z \rangle$ . Esto es un pequeño ahorro de espacio en este caso, pero se vuelve muy útil cuando hay múltiples índices, como los orbitales atómicos, donde tenemos $$|n \ell m \rangle\quad \text{ vs. }\quad \vec{e}_n \otimes \vec{e}_\ell \otimes \vec{e}_m.$$ También hay que tener en cuenta los estados de posición como $|\mathbf{x} \rangle$ donde la etiqueta del estado es a su vez un vector. En la notación de Dirac utilizamos el $| \, \rangle$ para mostrar que estamos hablando de un estado, y la notación vectorial en negrita en la etiqueta para mostrar que la etiqueta es en sí misma un vector. En la notación convencional, esto sería algo feo como $\vec{e}_{\vec{x}}$ o $\mathbf{e}_{\mathbf{x}}$ . (No se puede dejar caer el $\vec{e}$ como entonces $\vec{x}$ tendría dos significados: un vector de posición y un estado propio de posición).

Otro beneficio es cuando empiezas a usar sujetadores. Por ejemplo, puedes formar cosas como $$\langle \mathbf{x} | \mathbf{y} \rangle, \quad | \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{y}|.$$ Sólo por la forma se puede decir fácilmente que el primero es un número y el segundo un operador lineal. Por supuesto, se podría hacer lo mismo en notación vectorial con transposiciones conjugadas, $$\vec{e}_{\vec{x}}^\dagger \vec{e}_{\vec{y}}, \quad \vec{e}_{\vec{x}} \vec{e}_{\vec{y}}^\dagger$$ pero esto probablemente le provocará un túnel carpiano al escribirlo y dolor de ojos al leerlo. (A veces la gente simplemente escribe $\vec{e}_{\vec{x}} \vec{e}_{\vec{y}}$ para este último y llamarlo "diádico", pero creo que esto es aún peor porque es ambiguo dentro de expresiones más grandes). La notación de Dirac se ve aún mejor cuando se considera la conjugación. En la notación de Dirac esto se hace para los sujetadores y kets volteando todo horizontalmente, mientras que para la notación vectorial tienes que añadir y quitar dagas.

Answer 2

Estoy escribiendo unos apuntes sobre mecánica cuántica para mi hermano, que es matemático. Estoy tratando de introducir la menor notación posible, y por eso no estoy usando la notación bra-ket.

Las ventajas que he encontrado para no utilizar la notación bra-ket son

• No hay que introducir explícitamente la notación. Explicar lo que es un sujetador requiere un poco de tiempo.
• Hace que sea un poco más claro lo que está pasando con los operadores adjuntos, especialmente con los operadores no hermitianos. Siempre es un poco incómodo de expresar cuando un operador está actuando en el sujetador en lugar del ket.

Las desventajas de no utilizar la notación bra-ket son

• No se pueden escribir operadores de proyección en la forma $\sum_i |i\rangle \langle i|$ que es muy útil.
• Es difícil distinguir entre un valor propio de un operador y un estado con ese valor propio. He recurrido a cosas como $x$ y $\overline{x}$ pero siempre se vuelve incómodo.
• También es incómodo representar estados que son estados propios de múltiples operadores sin la notación ket $|nlm\rangle$ .

En mi opinión, las ventajas de la notación bra-ket superan a las desventajas, pero sólo para cuando realmente se hace mecánica cuántica. Seguiré evitándola en mis apuntes para evitar demasiada notación nueva y centrarme en los conceptos físicos y la conexión con las matemáticas.