Que sea $f : \Bbb R^n \to \Bbb R$ monótona sobre todas las líneas (no afines, pero si hay una respuesta sobre líneas afines, me interesa).
¿Es posible encontrar $h : \mathbb{R} \to \Bbb R$ monótono y $l : \Bbb R^n \to \Bbb R$ lineal para que $f = h \circ l$ ?
Traté de buscar suponiendo que tengo tal factorización, y como $\ker l$ es un hiperplano, tengo $n - 1$ líneas donde $f$ es constante. Intenté utilizar la condición de monotonicidad tratando de comparar $f(0)$ y sobre las líneas, pero no funcionó.
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La condición que has escrito no tiene mucho sentido, ya que equivale a $$\forall (u',v)\in\Bbb R^n\times \Bbb R^n,\forall (t,t')\in\Bbb R^2,(t\le t'\to f(u't+v)\ge f(u't'+v))$$ evaluando el suyo con $u:=-u'$ .
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Se puede decir simplemente que un mapa de una línea a otra es monótono si preserva la interinidad.
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@MoisheKohan ¿Así que básicamente si tienes dos puntos, todos los puntos entre ellos deben tener sus imágenes entre las imágenes de los puntos?
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Así es...
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Le sugiero que aclare qué significa una "línea" en su pregunta. ¿Te refieres a una línea afín o a una línea que pasa por el origen como en la respuesta aceptada? En el caso de las líneas afines su pregunta sigue abierta.