Si $f : \mathbb{R}^n \to \Bbb R$ es monótona sobre todas las líneas, puede escribirse como $h \circ l$ donde $h$ es monótona y $l$ ¿es una forma lineal?

Question

Que sea $f : \Bbb R^n \to \Bbb R$ monótona sobre todas las líneas (no afines, pero si hay una respuesta sobre líneas afines, me interesa).

¿Es posible encontrar $h : \mathbb{R} \to \Bbb R$ monótono y $l : \Bbb R^n \to \Bbb R$ lineal para que $f = h \circ l$ ?

Traté de buscar suponiendo que tengo tal factorización, y como $\ker l$ es un hiperplano, tengo $n - 1$ líneas donde $f$ es constante. Intenté utilizar la condición de monotonicidad tratando de comparar $f(0)$ y sobre las líneas, pero no funcionó.

Answer 1

Su factorización implica que $f$ es medible (véase $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ monótona creciente $\Rightarrow$ $f$ es medible ). Pero se puede construir un $f$ monótona sobre todas las líneas.

EDIT 1: Construcción de $f$ .

Tome $$\varphi:{\Bbb R}^{n - 1}\longrightarrow{\Bbb R}$$ no medible, y positiva, $\eta$ monótono y positivo. La función $$g(x) = \varphi(x_1,\dots,x_{n-1}) + \eta(x_n)$$ no será medible. Definir $f$ en el semiespacio superior a través de una biyección de tipo proyección estereográfica que transforma las semilíneas con constante $(x_1,\dots,x_{n-1})$ (dominio de $g$ ) en rayos (dominio de $f$ ). Definir $f(0) = 0$ . Definir $f$ utilizando la simetría en el semiespacio inferior abierto. Completa $f$ en el resto del espacio respetando su condición. Hecho.

EDIT 2: La biyección.

$$\sigma:(x_1,\dots.x_n)\longmapsto\frac{(x_1,\dots,x_{n-1},1)}{\|(x_1,\dots,x_{n-1},1)\|}\,x_n,$$ $f$ en el semiespacio superior abierto: $$f = g\circ\sigma^{-1}.$$