La probabilidad de selección de un no-medibles conjunto

Question

Si se selecciona aleatoriamente un subconjunto de a$[0,1]$, ¿cuál es la probabilidad de que sean medibles?

Edit: Esta pregunta puede ser irrefutable, tal como solicitó. Si los supuestos adicionales se podrían hacer para hacer rendir cuentas, yo estaría interesado en aprender acerca de ellos.

Answer 1

El siguiente topológico pequeñez (en lugar de medir la pequeñez) resultado puede ser de su interés.

Deje ${\mathbb P}[0,1]$ ser la colección de todos los subconjuntos de a $[0,1]$ modulo de la equivalencia de la relación de $\sim$ definido por $E \sim F \Leftrightarrow {\lambda^{*}(E \Delta F)} = 0,$ donde $\lambda^{*}$ es Lebesgue exterior de la medida y de $\Delta$ es la diferencia simétrica de la operación sobre los conjuntos. El conjunto ${\mathbb P}[0,1]$ puede ser hecha en un espacio métrico por la definición de la función de distancia $d,$ donde $d(E,F) = {\lambda^{*} (E \Delta F)}.$ En el documento citado a continuación se ha demostrado que la colección de subconjuntos medibles de $[0,1]$ es un perfecto nada denso conjunto en ${\mathbb P}[0,1].$

Por lo tanto, en este escenario, la colección de subconjuntos medibles de $[0,1]$ hace una muy pequeña parte de la colección de todos los subconjuntos de a $[0,1].$ Nota de que en el espacio de ${\mathbb P}[0,1]$ la colección de subconjuntos medibles no es sólo una primera categoría subconjunto de ${\mathbb P}[0,1]$ (esto sólo hace que la colección de un pequeño subconjunto de ${\mathbb P}[0,1]$), pero, de hecho, la colección de subconjuntos medibles en realidad es un lugar denso subconjunto de ${\mathbb P}[0,1]$ (de ahí mi diciendo que la colección es un muy pequeño subconjunto de ${\mathbb P}[0,1]$).

Nobuyuki Kato, Tadashi Kanzo, y Oharu Shinnosuke, Una nota en la medida de problema, Revista Internacional de la Educación Matemática en la Ciencia y la Tecnología 19 (1988), 315-318.

Answer 2

Casi la misma Pregunta se hizo en mathoverflow: http://mathoverflow.net/questions/102386/is-a-random-subset-of-the-real-numbers-non-measurable-is-the-set-of-measurable

La conclusión fue que el conjunto de todos los conjuntos medibles no era mensurable; por lo Tanto, no hay Probabilidad puede ser proporcionada.

Answer 3

Estoy asumiendo que se han corregido algunos $\sigma$-campo de subconjuntos del intervalo y "medibles" subconjunto significa un subconjunto de ese $\sigma$-campo.

Tu pregunta no tiene sentido hasta que se especifique lo hace "seleccionar aleatoriamente un subconjunto" significa. Y para hacer eso tenemos que elegir un $\sigma$-campo de subconjuntos del conjunto $2^{[0,1]}$, decir $\mathcal{A}$, y una probabilidad de medida $\mathbb{P}:\mathcal{A}\rightarrow [0,1]$. Es fácil ver que ahora que sabe lo que hace "seleccionar aleatoriamente un subconjunto" significa que podemos responder a su pregunta. Y ¿cuál es la respuesta? Dependiendo de la elección de $\mathcal{A}$ $\mathbb{P}$ puede ser cualquier número entre el$0$$1$, y ninguna de esas respuestas es mejor que el otro. (Desde el punto de vista de la teoría de la probabilidad)