Los resultados computacionales para la secuencia$n!+{p_n}!+1$ son, bueno, muy, muy inusuales

Question

Peter y yo estábamos discutiendo en una sala de chat y pensé que sería bueno para probar la secuencia $$n!+{p_n}!+1$$ de primalidad.

Luego me escribió a Pedro que espero mucho de números primos en esta secuencia, bueno, al menos la expresión está formada de tal manera que no podría ser mucho de ellos.

Pero, para mi y Peters sorpresa, él calculado y probado esta secuencia para todos los $1\leq n \leq 100$ y se encontró que sólo $n=3$ en el rango de la expresión es primo.

Él está empujando sus cálculos aún más, incluso en este momento, y, para mí, casi increíble es que pasó, $n=800$ y se encontró que sólo por $n=3$ la expresión es el primer y somos curiosos por qué no hay (hasta ahora) sólo un primer, aunque pequeño, factores que son imposibles para grandes valores de $n$.

Así, estamos de acuerdo en que una pregunta acerca de este unusuality deben ser frecuentes, y pido a tres de ellos, muy interrelacionados y conectados y responsable.

¿Tenemos alguna explicación de por qué esta secuencia tiene, para el rango calculado, así que un pequeño número de números primos? Es ingenuo esperar que esta secuencia tiene un número infinito de números primos? Lo que "debería" ser esperada en algunas variedades muy grandes?

Actualización: No hay más números primos hasta $n=1000$.

Answer 1

Tal vez no lo suficiente para una respuesta completa, pero sin embargo, algunas observaciones. Si el número de $n!+1$ tiene algunas pequeñas primer factor (es decir, menos de $p_n$) que implica inmediatamente que $n!+p_n!+1$ es divisible por que prime como bien y por lo tanto no es un número primo. Desafortunadamente, aún no se sabe si hay o no hay una infinidad de números primos entre $n!+1$ que por cierto es OEIS A002981. Podría ser probable que $n$ por que es el primer estaría contenida en esta secuencia - $n=3$ es en esta secuencia también. Lo he comprobado en mí mismo $n=872$ e $n=1477$ pero desafortunadamente ambos de ellos son compuestos. También si por alguna $n$ a partir de esta secuencia el número es compuesto, sus factores primos tienden a ser grandes, por ejemplo para $n=11$ tenemos: $$11!+31!+1=192119825921 \cdot 42800573104616324673281$$ Lo que hace más difícil demostrar nada por el uso de congruencias. Ahora estoy en el medio de comprobación $n=6380$. Sin embargo: $$6380! + 63647! + 1 \approx 2 \cdot 10^{278107}$$ Es un número enorme y va a tomar horas para comprobar su primalidad con mi antiguo equipo. Tal vez alguien con un mejor acceso al poder de la informática puede manejar más rápido?
También me gustaría señalar que la heurística de los comentarios que se debe mejorar un poco (pero todavía proporciona una gran cantidad de información en el problema) - no deberíamos considerar sólo la probabilidad de ser el primer (lo que podemos decir es aproximadamente $\log n$), pero en lugar de tomar la probabilidad de $m=n!+p_n+1$ siendo el primer y condicionado por el hecho de que no es divisible por cualquier prime $\le n$ - se hará la probabilidad más alta y puede hacer que nuestra suma divergentes (sin embargo no estoy muy seguro de eso, es sólo una idea, yo no sé ni cómo uno podría ir sobre la informática acondicionado probabilidad de una manera significativa).

EDITAR

He comprobado recientemente que: $$6380! + 63647! + 1 \approx 2 \cdot 10^{278107}$$ Es compuesto. También, por Pedro comentario si denotamos por $A$ caso de que: $$m=n!+p_n!+1$$ Es primo y por $B$ el evento de que no tiene privilegiada a menos de $n$ tenemos $A \subset B$ y que asintóticamente: $$P(A)=\frac{1}{\log m}=\frac{1}{n \log n^2}$$ $$P(B)=\frac{e^{-\gamma}}{\log n}$$ Y por lo tanto: $$P(A \mid B) = \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{e^{\gamma}}{n \log n}$$ Que es una divergente serie por lo tanto, lo que indica que no puede ser infinitamente muchos de estos números. Sin embargo, la suma diverge muy lentamente: $$\sum_{n=10}^{1000} \frac{e^{-\gamma}}{n \log n}\approx 2$$ Así que no debemos esperar que tales números primos demasiado a menudo. En realidad, tenemos que, desde: $$\int \frac{1}{x \log x}=\log \log x + C$$ Podemos escribir: $$\sum_{n=2}^{N} \frac{e^{-\gamma}}{n \log n} = O(\log \log N)$$ Así que no debemos esperar que muchos de ellos, incluso para los grandes valores de $N$ y es difícil de comprobar porque los números crecen tan rápidamente. Ahora estoy en el medio de la comprobación de que el siguiente número de la A002981 decir $n=26951$. Sin embargo, debido a que: $$26951! + 312029! + 1 \approx 6.8 \cdot 10^{1578838}$$ Tomará "un poco" más tiempo para que mi ordenador para comprobar su primalidad.

EDIT2

Después de tres días de la computación, todavía no he logrado comprobar la primalidad así que me he decidido finalmente dar.