Dada una secuencia de espacios$X \subset Y \subset Z$ con$X$ densa en$Z$, es$X$ densa en$Y$?

Question

Deje $X \subset Y \subset Z$ tres espacios vectoriales. Supongamos que $Y$ e $Z$ son completa de métricas de los espacios y que la inyectiva mapa de $Y \rightarrow Z$ es continua (pero no necesariamente abierto). Ahora supongamos que $X$ es denso en $Z$.

Bajo qué condiciones es $X$ denso en $Y$?

Una condición que se me ocurrió es que $Z$ es localmente compacto y la inclusión $Y \rightarrow Z$ es adecuado. En ese caso, el siguiente argumento funciona. Deje $y \in Y$ ser arbitraria. Entonces existe una secuencia $\{x_{n}\}_{n \in \mathbb{N}} \in X$ que converge a $y$ con respecto a la topología en $Z$. Ahora vamos a $U \subset Z$ ser un pre-compacto abrir barrio de $y$. Para $n$ mayor que $N$, dicen, sabemos que $x_{n} \in U$. Por la suposición de que la inclusión de $Y$ en $Z$ es correcta, sabemos que $U \cap Y$ es pre-compacto. La secuencia de $\{ x_{n} \}_{n > N}$ se encuentra en $U \cap Y$, y por lo tanto tiene una larga convergente con respecto a la topología en $Y$, el cual debe converger a $y$. Por lo tanto, para cualquier $y \in Y$ existe una secuencia en la $X$ que converge a $y$, por lo tanto $X$ es denso en $Y$.

Estoy interesado en particular en el caso de que $Z$ es un infinito dimensional espacio de Hilbert y que $Y$ es un espacio de Fréchet.

(También, yo creo que en general no es cierto que la $X$ es denso en $Y$, pero no he sido capaz de llegar con un contra-ejemplo, yo estaría feliz de saber si existe).

Answer 1

Un simple contraejemplo: $Y=\ell^1$ es densa a densa subespacio de $Z=\ell^2$. Deje $X=\{x\in\ell^1: \sum\limits_{n=1}^\infty x_n=0\}$ (el núcleo de un funcional lineal en $Y$ sin extensión continua a $Z$). A continuación, $X$ es cerrado en $Y$ y todavía densa en $Z$:

Dado $z\in\ell^2$ e $\varepsilon>0$ tome $N$ grande por lo que $\sum\limits_{n>N}|y_n|^2$ es muy pequeña. Para $a=\sum\limits_{n=1}^N y_n$ la aproximación de elemento en $X$ puede ser tomado como $x=(y_1,\ldots,y_N,-a/N^2,\ldots,-a/N^2,0,\ldots)$ con $N^2$ términos de $-a/N^2$. (Para ver la aproximación uso de Cauchy-Schwartz para la estimación de $|a|\le \|y\|_2 \sqrt{N}$.)