¿Cuáles son la media y la varianza de la distribución Gamma?

Question

Existen dos formas para la distribución Gamma, cada una con diferentes definiciones para los parámetros de forma y escala. En lugar de preguntar cuál es la forma que se utiliza para la gsl_ran_gamma probablemente sea más fácil pedir las definiciones asociadas para la media y la desviación estándar en términos de los parámetros de forma y escala.

Se agradecerá cualquier indicación sobre las definiciones.

Answer 1

Si el parámetro de forma es $k>0$ y la escala es $\theta>0$ una parametrización tiene la función de densidad

$$p(x) = x^{k-1} \frac{ e^{-x/\theta} }{\theta^{k} \Gamma(k)}$$

donde el argumento, $x$ es no negativo. Una variable aleatoria con esta densidad tiene la media $k \theta$ y la varianza $k \theta^{2}$ (esta parametrización es la que se utiliza en la página de la wikipedia sobre la distribución gamma).

Una parametrización alternativa utiliza $\vartheta = 1/\theta$ como parámetro de velocidad (parámetro de escala inverso) y tiene la densidad

$$p(x) = x^{k-1} \frac{ \vartheta^{k} e^{-x \vartheta} }{\Gamma(k)}$$

Con esta elección, la media es $k/\vartheta$ y la varianza es $k/\vartheta^{2}$ .

Answer 2

En realidad, además de lo que dijo Macro, hay una tercera forma para la distribución gamma Con un parámetro de forma $v$ y un parámetro medio $\mu$

$ p(x\mid \mu,v) = constant \times x^{\frac{v-2}{2}} e^{-\frac{xv}{2\mu}} $

si $x \sim G(\mu,v)$ entonces $ E(x) = \mu$ y $var(x) =\dfrac{2\mu^2}{v}$