Evaluar usando el teorema de Stokes

Question

Para evaluar $\oint_{C} -y^3dx+x^3dy+z^3dz,$ donde $C$ es la intersección del cilindro $x^2 + y^2 =1$ y el avión $x+y+z=1$. La orientación de $C$ está en contra de las manecillas del movimiento en el $xy$ plano.

Ahora he calculado $\nabla \times\mathbf{F} = \left(0,0,3\left(x^2+y^2\right)\right).$ estoy teniendo dificultades para encontrar la curva de $C$ de intersección, y también estoy confundido acerca de la proyección sobre el $xy$ plano. Debo tomar parte en el interior de $x+y=1 $ o sólo parte entre $x+y=1$ e $x^2+y^2=1?$

Answer 1

Sugerencia: ya que $x^2+y^2=1$ tiene ese $$x=\cos t\quad y=\sin t\quad 0\leq t\leq2\pi.$ $ Por lo tanto, una parametrización para la curva $C$ es

PS

Answer 2

Deje $\mathbf{F}=\left(-y^3,x^3,z^3\right).$ Así tenemos \begin{align*} \oint_{C} -y^3dx+x^3dy+z^3dz&=\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \\ &=\iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot dS \\ &=\iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA \\ &=\sqrt{3}\iint_S\left(x^2+y^2\right)\,dA. \end{align*} Mi corazonada es que se puede considerar que la proyección en el $xy$ plano de la superficie de la $S$ para este problema, ya que el integrando $\nabla\times\mathbf{F}$ sólo tiene un $z$ componente. Si eso es así, vamos a querer cambiar a coordenadas polares: \begin{align*} \oint&=\sqrt{3}\int_0^{2\pi}\int_0^1\left(x^2+y^2\right)\,r\,dr\,d\theta \\ &=2\sqrt{3}\,\pi\int_0^1 r^3\,dr \\ &=\frac{\sqrt{3}\,\pi}{2}. \end{align*} Como podemos ver en este wiki, para ajustar la proyección, necesitamos $$A_{\text{proj}}=\cos(\beta) A, $$ desde el ángulo es constante y se saca de la integral. Hemos calculado el área proyectada, por lo que debemos compensar dividiendo por $\cos(\beta),$ se puede calcular mediante el producto escalar de la fórmula: $$\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\cdot(0,0,1)=\cos(\beta). $$ Esto significa que el resultado final es $$\frac{\sqrt{3}\,\pi}{2}\div\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3\pi}{2}. $$

Ahora la pregunta es, fue la proyección justificado? Podemos comprobar, por ejemplo, la informática, el original de la integral de línea? Como sugiere DiegoMath en su respuesta, podemos parametrizar la curva de $C$ como \begin{align*} x&=\cos(t) \\ y&=\sin(t) \\ z&=1-\cos(t)-\sin(t),\\ 0&\le t\le 2\pi. \end{align*} Entonces tenemos \begin{align*} \mathbf{r}(t)&=(\cos(t), \sin(t), 1-\cos(t)-\sin(t))\\ \dot{\mathbf{r}}(t)&=(-\sin(t), \cos(t), \sin(t)-\cos(t)) \\ \mathbf{F}(t)&=(-\sin^3(t),\cos^3(t),(1-\cos(t)-\sin(t))^3) \\ \mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{r}}&=\sin^4(t)+\cos^4(t)+(\sin(t)-\cos(t))(1-\cos(t)-\sin(t))^3 \\ \oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}&=\oint_C\mathbf{F}\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\,dt \\ &=\int_0^{2\pi}\left[\sin^4(t)+\cos^4(t)+(\sin(t)-\cos(t))(1-\cos(t)-\sin(t))^3\right]dt \\ &=\frac{3\pi}{2}, \end{align*} cual es la respuesta que hemos tenido anteriormente.