Producto tensorial de funciones holomorfas y densidad.

Question

Deje que $\Omega_1, \Omega_2$ sean dos subconjuntos abiertos de $\mathbb{C}.$

¿La imagen de $$\Phi : \mathcal{O}(\Omega_1) \times \mathcal{O}(\Omega_2) \to \mathcal{O}(\Omega_1 \times \Omega_2), (f,g)\mapsto ((z,w) \mapsto f(z)g(w))$$ dense in $ \ mathcal {O} (\ Omega_1 \ times \ Omega_2) $ ? (Aquí la topología es la convergencia uniforme en subconjuntos compactos).

Conozco el resultado de las funciones de prueba, pero me pregunto si es cierto para las funciones holomorfas. Tal vez con algunas condiciones adicionales en los subconjuntos abiertos? Gracias por cualquier ayuda / sugerencia.

Answer 1

Si $\Omega_1,\Omega_2$ están delimitadas abrir con longitud finita límite.

Para un subconjunto compacto $K$ de $\Omega_1\times \Omega_2$, elija dos simples curvas cerradas $A_i \subset \Omega_i$ tal que $Int(A_1)\times Int(A_2)$ contiene $K$. Para $(z,w) \in Int(A_1)\times Int(A_2)$

$$ f(z,w) =\frac{1}{2i\pi} \int_{A_1} \frac{f(s,w)}{s-z} ds=\frac{1}{(2i\pi)^2}\int_{A_1} \int_{A_2} \frac{f(s,u)}{(s-z)(u-w)} dsdu$$

La aproximación de $\int_{A_1} \int_{A_2} $ con una suma de Riemann de los rendimientos $$f(z,w) \approx \frac{1}{(2i\pi)^2}\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^J \frac{f(s_j,u_i)}{(s_j-z)(u_i-w)} (s_{j+1}-s_j)(u_{i+1}-u_i)$$

Tomando $A_1$ muy cerca de $\partial \Omega_1$ podemos tomar $\widetilde{s_j} \not \in \Omega_1$ muy cerca de $s_j$ , de modo que

$$f(z,w) \approx \frac{1}{(2i\pi)^2}\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^J \frac{f(s_j,u_i)}{(\widetilde{s_j}-z)(\widetilde{u_i}-w)} (s_{j+1}-s_j)(u_{i+1}-u_i) \in \mathcal{O}(\Omega_1) \otimes \mathcal{O}(\Omega_2)$$