Escribiendo una matriz como producto de dos matrices.

Question

Considere la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 0 & y & -x\\ y & y^2 & -xy\\ -x & -xy & x^2 \end{pmatrix}. $$ Es posible encontrar matrices $X = X(x)$ e $Y=Y(y)$ tal que $A = XY$ (o $A = YX$)?

Posiblemente no relacionados de observación de la mía es que si consideramos el vector $v = \begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}$, entonces podemos escribir $A$ en forma de bloque como $$ A = \begin{pmatrix} 0 & v^t\\ v & vv^t \end{pmatrix}, $$ lo que nos permite escribir $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & v \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 1 & v^t \end{pmatrix}, $$ pero esto no es realmente lo que quiero desde ahora los factores que dependen tanto de $x$ e $y$.

EDIT: Como se sugiere en los comentarios, establecimiento $z = -x$rendimientos $$ A = \begin{pmatrix} 0 & y & z\\ y & y^2 & yz\\ z & yz & z^2 \end{pmatrix}. $$

Answer 1

Por la simetría, si es posible con $A=YX$ , entonces es posible con $A=XY$ también. Así que sin pérdida de generalidad supongamos que podemos escribir $A(x,y)=X(x)Y(y)$ para algunos matriz de funciones con valores de $X$ e $Y$.

Ahora establecimiento $x=-1$ tenemos $$ X(-1)Y(y)\begin{pmatrix}1-w\\0\\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & y & 1 \\ y & y^2 & y \\ 1 & y & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1-w\\0\\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w \\ y \\ 1\end{pmatrix}$$ y estos vectores claramente span $\mathbb R^3$ cuando permitimos $y$ e $w$ a variar. Por lo $X(-1)$ debe tener rango completo.

Un argumento similar desde el otro lado muestra que $Y(1)$ debe tener rango completo también.

Pero $A(-1,1)$ tiene rango $2$ y no puede ser el producto de la invertible $X(-1)$ e $Y(1)$.