Deje que$A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3& 4 \end{bmatrix}$ luego det$(A^3-6A^2+5A+3I)=3$

Question

Sea $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3& 4 \end {bmatrix}$ then det$ (A ^ 3-6A ^ 2 +5A +3I) = 3 $

det $(A^3-6A^2+5A+3I)=$ det $((A^2-5A-2I)(A-I)+2A+I)= $ det $(2A+I)=3$ , ya que una matriz satisface su polinomio característico. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Sí, esto se ve bien. Ya que $A$ satisface su propio polinomio característico, tienes: $$\color{blue}{A^2-5A-2I=O}$ $ y así, como escribiste: $$A^3-6A^2+5A+3I=\underbrace{\left(\color{blue}{A^2-5A-2I}\right)}_{\color{blue}{O}}\left(A-I\right)+2A+I=2A+I$ $ lo que te deja con el (más fácil) $\det\left(2A+I\right)$ y eso es de hecho $3$ .

Answer 2

Aquí hay otro método. Suponga que $\lambda_i\in\mathbb{C}$, $i=1,2$ son los dos igenvalues de $A$. Deje $f(x)\in \mathbb{C}[x]$ ser el polinomio característico de $A$. A continuación, $$f(x)=\det(A-xI)=x^2-5x-2.$$ La matriz de $A$ puede ser diagonalized como $$A=P\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0& \lambda_2 \end{bmatrix}P^{-1},$$ donde $P$ es una matriz invertible más de $\mathbb{C}$. Deje $g(x)=x^3-6x^2+5x+3$. Tenemos $g(x)=f(x)(x-1)+2x+1$. De ello se sigue que $$\det(A^3-6A^2+5A+3I)=\det(g(A))=\det\left(g\left(\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0& \lambda_2 \end{bmatrix}\right)\right)=\det\left(\begin{bmatrix} g(\lambda_1) & 0\\ 0& g(\lambda_2) \end{bmatrix}\right)=g(\lambda_1)g(\lambda_2).$$ Tenga en cuenta que $f(\lambda_i)=0$, $i=1,2$. Por lo tanto $g(\lambda_i)=f(\lambda_i)(\lambda_i-1)+2\lambda_i+1=2\lambda_i+1$. Así $$\det(A^3-6A^2+5A+3I)=(2\lambda_1+1)(2\lambda_2+1)=4\lambda_1\lambda_2+2(\lambda_1+\lambda_2)+1.$$ De acuerdo a Vieta teorema, tenemos $$\lambda_1\lambda_2=-2, \lambda_1+\lambda_2=5.$$ En consecuencia, $$\det(A^3-6A^2+5A+3I)=4\times (-2)+2\times 5 +1=3.$$