Si$h(n+1)=h(n)+3$ y$h(0)=1$, proporcione una expresión explícita para$h(n)$ sin "adivinar"$h(n)=3n+1$ primero.

Question

Deje $\omega$ denotar los números naturales (intersección de todos los inductivo conjunto) . Suponga $h$ es la función de $\omega$ a $\omega$ para que $h(0)=1$ e $h(n^+)=h(n)+3$ . Dar un explícito (no recursiva) la expresión para $h(n)$.

Informalmente , tenemos $h(n^+)+h(n)+...+h(1)=h(n)+3+...+h(0)+3$ entonces nos encontramos con que $h(n^+)$ "debe ser" $3n+4$ , por lo que suponemos $h(n)=3n+1$ . Entonces, podemos aplicar la inducción y recursión teorema para obtener la conclusión deseada .
Sin embargo , no me gusta la prueba de arriba ya que tenemos que adivinar lo $h(n)$ podría ser el primero . Podemos probar directamente ?

Nota: Este es un ejercicio de teoría de conjuntos , por lo que la prueba deben ser rigurosos . Frase como "$0+1+...+n$" se debe evitar .

Answer 1

Usted necesidad de distinguir entre saber qué probar y realmente la prueba.

Real de las pruebas pueden ser necesarias para ser rigurosos, pero no existe un estándar de rigor para saber de qué probar. Cualquier tipo de corazonadas, descuidado la notación, y extraños saltos intuitivos están permitidos en esa fase tan largo como la prueba real de hacer al final es riguroso.

Es muy fácil demostrar-con todo el rigor que había de atención a la demanda-el hecho de que $h(n) = 1+3n$ es una solución a su condición, y de hecho la única solución en $\mathbb N$.

Pero aquí en lugar exigentes para tener algún tipo de rigor en sabiendo que sería una buena idea para intentar este tipo de prueba. Esta demanda es ajeno a las matemáticas, y que se ejecutará a ti mismo en numerosos callejones sin salida en la enseñanza de las matemáticas, si seguir esperando tal exige ser válido.

Su confusión, desafortunadamente, no es infrecuente entre los estudiantes que han recibido una impresión de la escuela de que la matemática es acerca de los siguientes procedimientos particulares para cada tipo de problema. Usted, a continuación, se confunden cuando se le pregunta a investigar un problema sin tener un procedimiento a seguir. Pero no hay procedimientos en general -- en la medida en que las matemáticas es acerca de las reglas, se trata de investigar lo que las reglas le permiten salirse con la, no se trata de dejar que las reglas que le diga qué hacer con ellos.

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Para la pregunta concreta, se podría apunte hacia un general paso a paso el procedimiento para la resolución de recurrencias lineales. E incluso se podría demostrar rigurosamente que dicho procedimiento de obras en general-pero usted podría todavía se quejan de que uno debe "adivinar" una descripción de este procedimiento antes de que uno puede empezar demostrando que funciona.

Answer 2

Qué tal esto

PS

Restar la suma de ambos lados da $$\displaystyle \sum_{n=1}^{N} h(n) = \displaystyle \sum_{n=1}^{N} \big(h(n-1)+3 \big) = \displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} \big(h(n)+3 \big) = h(0) + 3n + \displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} h(n) = 1+3n +\displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} h(n)$ $

Answer 3

Con problemas simples como este, solo puede intentar desentrañar la secuencia.

$$h(n+1)=3+h(n)=\underbrace{3+3}_{n+1-(n-1)}+h(n-1)=\underbrace{3+3+3}_{n+1-(n-2)}+h(n-2)=\cdots$ $ $$=\underbrace{3+3+\cdots+3}_{n+1-0}+h(0)=3(n+1)+1$ $ Ahora simplemente reemplace $n+1$ con $n$ y obtendrá $h(n)=3n+1$ . Ahora puedes probar esto rigurosamente mediante inducción.

Tenga en cuenta que los números debajo de las llaves representan el número de términos.