Resolver una ecuación fraccional que involucra un logaritmo

Question

Yo puede ser estúpido, así que me ha venido a la Pila para ver si esta elementales de álgebra sostiene.

Supongamos que la ecuación de $$\frac{\ln x}{(1+ \ln x)^2} = \frac{1}{4}$$

Mi elegido manera de resolver esto sería cruzar multiplicar y ampliar los soportes, se resuelve la ecuación cuadrática y obtener el valor de $x$.

Sin embargo, un estudiante que estoy ayudando a que tengo esta diciendo $\ln x = 1$ da $x = \mathrm{e}$ y a las $x= \mathrm{e}$, el denominador $(1+ \ln x)^2 = 4$.

Por lo tanto $x= \mathrm{e}$.

Es este enfoque siempre es correcta o es cuestión de suerte aquí?

En general, si tengo $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{m(x)}{n(x)}$, puedo resolverlo mediante la búsqueda de las soluciones más comunes de $f(x) = m(x)$ e $g(x) = n(x)$?

[Edit: claro que no, porque si tengo $\frac{x}{x+2} = \frac{1}{x+3}$, a continuación, $x= 1$ e $x+2 = x + 3$ no te dan nada..., así que ¿por qué se hace en este caso?]

Answer 1

Si $f(x) = m(x)$ e $g(x) = n(x)$ tienen una solución común, luego de que la solución es también una solución de $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{m(x)}{n(x)}$. El problema es que no se garantiza que sea la única solución. Un ejemplo en este caso sería:

$$\frac{(x-1)}{2x-1} = \frac{(x-1)}{x(3x-2)}$$

La solución de $x=1$ puede ser obtenida con el método propuesto, pero no hay otra solución, es decir, $x=1/3$.

Answer 2

Deje $u = \ln x$ .

Entonces,

PS

de lo que sigue

PS

es decir,

PS

De dónde,

PS

Por lo tanto, $$ \frac{u}{(u^{2} + 1)^{2}} = \frac{1}{4}$ es la única solución.

Answer 3

$$\frac{\ln x}{(1+\ln x)^2}=\frac{1}{4}$ $ con $u=\ln(x)$ obtenemos: $$\frac{u}{(1+u)^2}=\frac{1}{4}$ $ $$4u=1+2u+u^2$ $ $$u^2-2u+1=0\Rightarrow (u-1)^2=0$ $ $$\therefore u=1$ $ $$x=e^u\Rightarrow x=e,$ $ Este parece ser el única solución

Answer 4

$\frac ab = \frac cd$ ¿ no significan $a = c$ e $b = d$.

He aquí dos ejemplos:

$\frac 13 = \frac 26$ pero $1 \ne 2$ e $3\ne 6$. Del mismo modo, si $x =2$ tendríamos $\frac x{x+4} = \frac 13$. Eso no quiere decir $x=1$ e $x+4 =3$.

Uno (no se recomienda) manera de hacer esto es un aviso de que $\frac ab = \frac {\beta a}{\beta b}$ para todos los $\beta$ (excepto $0$) por lo que no debe ser algo de $\alpha$ donde tenemos $\frac ab = \frac {\alpha a}{\alpha c} = \frac cd$ e $a = \alpha c$ e $b=\alpha d$. No tenemos ninguna razón para suponer que $\alpha$ es igual a $1$.

Así que cuando $\frac 13 = \frac 26$ tenemos $1 = [\frac 12]*2$ e $3 = [\frac 12]*6$. Y para $\frac x{x+4} = \frac 13$ tenemos $x = \alpha$ e $x+ 4 = 3\alpha$. (Podemos resolver esto como $\alpha = x$ tenemos $x +4 = 3x$ lo $2x =4$ e $x=2$...)

Pero la mejor manera es hacer:

$\frac ab = \frac cd \implies ad = bc$. Para nuestros ejemplos obtenemos $\frac 13 = \frac 26 \implies 1*6 = 2*3$ que no y $\frac x{x+4} =\frac 13 \implies 3x = x+4\implies x = 2$.

Así, en el problema que tiene:

$\frac{\ln x}{(1+ \ln x)^2} = \frac{1}{4}$ lo que significa que

$4\frac {\ln x} = (1 + \ln x)^2$. Sí no decir $\ln x = 1$ o que $(1+\ln x)^2 = 4$. Esto significa que hay algunas constantes $\alpha$ , de modo que $\ln x = \alpha$ e $1+\ln x)^2 = \alpha *4$ , pero .... que sólo la misma cosa, con un complicado e innecesario de la variable que se lanzan.

Para ello me acababa de sustituir a $\ln x$ con $w$ e tienen $4w = (1 + w)^2$ y resolver para $w$.

$4w = 1 + 2w + w^2$

$0 = 1-2w + w^2$

$(w-1)^2 = 0$

$w-1 = 0$

$w = 1$

Por lo $\ln x = 1$ lo $x = e$.