Producto tensorial infinito e isometrías parciales

Question

Consideremos un producto tensorial contablemente infinito del álgebra de complejos $2\times 2$ matrices: $\otimes_{k=1}^\infty M^{(k)}_2 (\mathbb{C})$ y dos estados diferentes:

1) $\phi$ que es el producto tensorial de la matriz de densidad $\frac{1}{2}\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)$ en cada sitio.

2) $\psi$ que es el producto tensorial de la matriz de densidad $\frac{1}{1+\lambda}\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \lambda \end{matrix}\right)$ con $\lambda\neq 0$ en cada sitio.

El álgebra de von Neumann se obtiene utilizando $\psi$ es el hiperfinito tipo II $_1$ y es de tipo III $_\lambda$ si utilizamos $\psi$ .

Ahora, consideremos el operador proyector $p=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)$ en el primer qubit. En el caso del factor de tipo III existe una isometría $W$ en el álgebra tal que $W^\dagger W=1$ y $WW^\dagger=p$ ¿Qué es este operador? $W$ ? y por qué no está en el álgebra del II $_1$ ¿factor?

Answer 1

No creo que tenga sentido esperar una descripción explícita de $W$ . Sabemos que $W$ es un límite sot (en la representación GNS de $\psi$ ), $W=\lim_j W_j$ con $W_j\in\bigotimes_kM_2(\mathbb C)$ y el $W_j$ no son unitarios, porque si lo fueran tendríamos $p=WW^*=\lim_jW_jW_j^*=1$ (la multiplicación es sot continua en redes acotadas). Pero entonces la $W_j$ ni siquiera pueden ser isometrías, porque si lo fueran serían unitarias (como $\bigotimes_kM_2(\mathbb C)$ tiene un rastro).

La razón $W\in \overline{\bigotimes_kM_2(\mathbb C)}^{\rm sot -\psi}$ mientras que $W\not\in \overline{\bigotimes_kM_2(\mathbb C)}^{\rm sot -\phi}$ es que se trata de terminaciones diferentes (es decir, terminaciones bajo topologías diferentes). No es diferente (en cuanto a "rareza") de tomar un espacio localmente compacto, digamos $(0,1)$ y tomando dos terminaciones diferentes, como la compactación de un punto $\overline{(0,1)}^{o}$ y la compactación Stone-Cech $\overline{(0,1)}^{sc}$ por qué hay puntos en la corona $\overline{(0,1)}^{sc}\setminus (0,1)$ no en $\overline{(0,1)}^{o}$ ?

Además, es fácil olvidar que al tomar el cierre de sot/wot se obtienen decenas de elementos nuevos. Concretamente, su C $^*$ -Álgebra $\bigotimes_kM_2(\mathbb C)$ (comúnmente denominado UHF $(2^\infty)$ ) es separable por norma, mientras que su cierre sot no lo es. Un ejemplo dramático de esta aparición de nuevos elementos se produce cuando se crea un II $_1$ -como un álgebra de grupo: es decir, tomar un grupo icc $G$ , considere su representación regular a la izquierda $\lambda:G\to B(\ell^2(G))$ y obtener el II $_1$ -factor $L(G)=\lambda(G)''$ . Como ahora, II $_1$ -tienen montones y montones de proyecciones; sin embargo, el denso C $^*$ -Álgebra $\overline{\operatorname{span}\{\lambda(G)\}}^{\|\cdot\|}$ a menudo no tiene proyecciones no triviales (esto es cierto, por ejemplo, si $G=\mathbb F_2$ ).