Un subespacio adecuado de un espacio vectorial normado tiene interior vacío aclaración

Question

Entonces, todo subespacio propio de un espacio vectorial normado tiene interior vacío. No estoy pidiendo la demostración, mi problema es que esto me parece muy extraño. Entonces, si tengo un espacio vectorial normado, en cualquier subespacio propio no puedo tomar ninguna bola dentro del subespacio?

Por ejemplo, supongamos que trabajamos en un conjunto con medida finita, $[a,b]$ por ejemplo. Tomemos espacios $L^{P}$ sobre $[a,b]$. Sabemos que ahora $L^{\infty}$ está incluido en $L^{1}$. Entonces $L^{\infty}$ es un subespacio propio de $L^{1}$. ¿Significa esto que $L^{\infty}$ es en ninguna parte denso?

Answer 1

Esto significa que $ L^\infty $, como subconjunto de $ L^1 $, tiene interior vacío (ya que $ L^\infty $ es un subespacio propio de $ L^1 $), tal como has mencionado.

Pero $ L^\infty $ no es en ningún lugar denso en $ L^1 $. De hecho, $ L^\infty $ es denso en $ L^1 $. Esto se debe a que cualquier función de $ L^1 $ puede ser aproximada por funciones simples, que están en $ L^\infty $. Por lo tanto, la clausura de $ L^\infty $ es $ L^1 $, que ciertamente tiene interior no vacío en $ L^1 $.

Answer 2

En el caso infinito-dimensional, los subespacios son cerrados por definición. $L^\infty$ no está cerrado en $L^1$ (su cierre es todo $L^1$), por lo que no es un ejemplo de subespacio propio.

$L^\infty$ es denso en $L^1$ (incluso las funciones con soporte compacto lo son). Por supuesto, no es en ninguna parte denso, ¡su cierre es $L^1$!

Y sí, como subconjunto, $L^\infty$ tiene interior vacío.