Deje $(G,\cdot)$ ser un grupo que tiene el propery que $\exists a \in G$ tal que $ax=x^4a$,$\forall x \in G$. Resolver la ecuación de $x^7=e$.
Empecé por la observación de que para $x=a$ tenemos que $a^2=a^5$, lo $a^3=e$. Entonces traté de izquierda multiplicar la relación en la hipótesis de $x^3$, pero no sirvió de nada y ahora estoy atascado.
EDIT: Esto es lo que la clave de respuesta dice "tome $a=x^7$ a conseguir ese $x^8=x^{11} => x^3=e$.Por lo tanto, $a=x^7=(x^3)^2 x=x => x=a$, que satisface $x^7=e$".
Para mí, esto parece descaradamente mal. En primer lugar, creo que no se puede establecer el $a$ a ser igual a nada, porque solo sabemos que existe, nada más. En segundo lugar, $a^7=a$ desde $a^3=e$.
Podría ser posible que este problema está mal y la ecuación no tiene solución?
Respuesta
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user772913
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Como se muestra en los comentarios, $x^{63}=e,\,\forall x\in G$. Por lo tanto, para cada $x$ en $G$, $(x^9)^7=e$. Por el contrario, si $x^7=e$, a continuación, $x=(x^4)^9$. Así que las soluciones a la ecuación de $x^7=e$ forman el conjunto $\left\{x^9\mid x\in G\right\}$.
En aras de la exhaustividad, vamos a mostrar $x^{63}=e,\,\forall x\in G$ aquí. Puesto que para cada $x$ en $G$, $ax^4a^{-1}=x^{16}$, vemos a $x^{16}=a^2xa^{-2}$, y, por tanto, $x^{64}=a^3xa^{-3}=x$, lo $x^{63}=e$.
Espero que esto ayude.
