En un par de pantalones, las geodésicas completas no cubren toda la superficie

Question

Estoy leyendo una tesis de Jenya Sapir. En su tesis, menciona que "en un par de pantalones, las geodésicas completas ya no cubren toda la superficie".

No pude averiguar cómo podemos llegar a esta afirmación, pero sabía que, cuando la longitud de cada geodésica en el límite de la superficie es lo suficientemente larga, esta afirmación es cierta, obviamente.

Más preguntas, si esta propiedad se mantiene cuando consideramos alguna superficie hiperbólica con límite? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Creo que no está claro si la afirmación es verdadera, sugiero escribir a Sapir y pregunte por los detalles. (Tampoco es del todo claro lo que se alega, es decir, si ella se refiere a "algunos" hiperbólico pares --- en cuyo caso la demanda se demuestra por debajo de los pantalones o "para todos" --- en caso de que la reclamación no está claro.)

Aquí es lo que uno puede decir, en general. Deje $S$ ser conectado métricamente superficie hiperbólica completa con vacío geodésica de límites y de área finita. A continuación, $S=C/\Gamma$ donde $C$ es un subconjunto convexo en ${\mathbb H}^2$ (con vacío geodésica límite) y $\Gamma< Isom({\mathbb H}^2)$ es un subgrupo discreto de preservar $C$. Deje $\Lambda$ denotar el límite conjunto de $\Gamma$: $C$ es el cierre convexo de casco de $\Lambda$. Deje $\Delta$ denotar la diagonal en $\Lambda \times \Lambda$. Hay un mapa $$ f: (\Lambda \times \Lambda \Delta)\times {\mathbb R}\a C, $$ el envío de un par de puntos distintos $\lambda_1, \lambda_2$ en $\Lambda$ a (parametrizada con la unidad de velocidad) orientado a la geodésica en el plano hiperbólico asintótica $\lambda_1, \lambda_2$. (Revisión de una base de punto de $o\in {\mathbb H}^2$ y envíe $(\lambda_1,\lambda_2,0)$ a, el punto en el hiperbólico geodésica se extendió por $\lambda_1,\lambda_2$ que es la más cercana a $o$. Luego se extenderá al resto de $(\lambda_1,\lambda_2,t)$ en lo obvio de la moda.)

La pregunta es si este mapa es no-surjective. (Esto es equivalente a preguntar si $S$ no está cubierto por biinfinite geodesics.)

Uno puede trabajar, por ejemplo, con el Klein modelo del plano hiperbólico y comprobar que el mapa de $f$ es (localmente) Lipschitz (el objetivo está equipado con la restricción de la Fubini-Estudio de la métrica en la $RP^2$). A continuación, la dimensión de Hausdorff del dominio del mapa es $2d+1$ donde $d$ es la dimensión de Hausdorff de $\Lambda$. El objetivo, por supuesto, tiene la dimensión de Hausdorff $2$, por lo que el mapa no es surjective si $d<1/2$ desde Lipschitz mapas puede aumentar la dimensión de Hausdorff. Sin embargo, si $S$ tiene área finita, puede ser siempre equipado con un nuevo sistema, para que $d$ es lo más cercano a $1$ como quieras (pero, necesariamente, $<1$). Del mismo modo, siempre se puede encontrar una métrica con $d$ tan cerca de $0$ como te gusta.

El dominio del mapa de $f$ tiene dimensión topológica $1$. Hay un error común que Lipschitz mapas puede aumentar la dimensión topológica. (De hecho, se puede.) Una preocupación es que la citada reclamación se basa en esta falacia común.

Edit. Aquí es una prueba de que $dim(\Lambda\times \Lambda \times {\mathbb R})= 2d+1$. En general, si $X, Y$ son (separable) espacios métricos (en nuestro caso, estos son subconjuntos de Euclídea espacios), a continuación, $$ dim(X)+dim(Y) \le dim(X\times Y)\le dim(X) + dim_B(Y), $$ donde $dim_B$ es el cuadro de conteo de dimensión. Véase, por ejemplo, aquí. En particular, si $dim_B(Y)=dim(Y)$ luego $$ dim(X\times Y)=dim(X) + dim(Y). $$ En nuestro caso, estamos multiplicando $\Lambda$ (dos veces) y ${\mathbb R}$. Para ${\mathbb R}$, por supuesto, $dim=dim_B$. Si $\Gamma$ es geométrica finita grupo Kleiniano, a continuación, $dim(\Lambda)=dim_B(\Lambda)$, véase, por ejemplo,

B. Stratmann, M. Urbanski, El cuadro de conteo de dimensión para geométricamente finito Kleiniano grupos, Fondo. Matemáticas, 1996.

(Más en general los resultados fueron probados por el Obispo y Jones.) No estoy seguro de lo que sucede para las plazas de límite establece de manera geométrica infinita grupos, pero probablemente no la atención.