En general, cuando el $f: \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}$ es la norma euclídea, que se define por
\begin{equation}
f(x) = |x| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}
\end{equation}
entonces la distancia desde el origen, $f$ es $C^{\infty}$ y su derivada está dada por
\begin{equation}
f'(x)(\eta) = \left\langle \dfrac{x}{|x|}, \eta \right\rangle
\end{equation}
(para todos los $x \neq 0$, y para todos los $\eta \in \Bbb{R}^n$).
Ahora, para convenince, definir $g: \Bbb{R} \times \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^n$,
\begin{equation}
g(\varepsilon,x) = \nabla u(x) + \varepsilon \nabla v(x)
\end{equation}
La energía funcional derivado desea calcular está dado por
\begin{align}
J'(u)(v) &= \dfrac{d}{d \varepsilon} \bigg|_{\varepsilon = 0} J(u+ \varepsilon v) \\
&= \dfrac{d}{d \varepsilon} \bigg|_{\varepsilon = 0} \int_{ x \in\Omega} \dfrac{\left[ (f \circ g)(\varepsilon, x) \right]^p}{p} \\
&= \int_{ x \in\Omega} \dfrac{\partial}{\partial \varepsilon} \bigg|_{\varepsilon = 0} \dfrac{\left[ (f \circ g)(\varepsilon, x) \right]^p}{p} ,
\end{align}
Esta última igualdad es por Leibniz integral de la regla para la diferenciación bajo el signo integral. Ahora, en el interior, sólo tenemos que hacer uso de la regla de la cadena en el interior. Haciendo así que los rendimientos de
\begin{align}
J'(u)(v) &= \int_{ x \in\Omega} \dfrac{p \cdot \left[ f(g(0,x)) \right]^{p-1}}{p} \cdot f'[g(0,x)] \left( \dfrac{\partial g}{\partial \varepsilon}(0,x) \right) \\
&= \int_{ x \in\Omega} |\nabla u(x)|^{p-1} \cdot \left \langle \dfrac{\nabla u(x)}{|\nabla u(x)|} , \nabla v(x) \right \rangle \\
&= \int_{x \in \Omega} |\nabla u(x)|^{p-2} \cdot \left \langle \nabla u(x), \nabla v(x) \right \rangle
\end{align}
Modulo algunas anotaciones, esto es precisamente lo que se quería demostrar.
Por cierto, toda mi respuesta, se supone que todas las funciones son agradables y diferenciable, y, en particular, que si $ p< 2$, a continuación, $\nabla u(x)$ no se desvanezca en cualquier lugar, por lo que la norma es diferenciable. Si este no es el caso, entonces el argumento tiene que ser necesariamente más involucrados... no estoy muy seguro de cómo uno podría proceder en este caso.
Si $p\geq 2$, entonces podemos escribir $|\nabla u|^p = \langle \nabla u, \nabla u\rangle^{p/2}$. En este caso, las funciones diferenciables incluso independientemente de si o no $\nabla u$ se desvanece; esto es debido a que la función de $t \mapsto t^{p/2}$ es diferenciable en todas partes, y el producto interior $\langle \cdot , \cdot \rangle$ también es diferenciable en todas partes, por lo que su composición será así. Por supuesto, en este caso, vamos a tener que modificar ligeramente el argumento anterior, pero la respuesta final es el mismo
