Por ejemplo:
Es que hay una lista de los valores exactos de $\boldsymbol \sin$ a alguna parte?
Encontrado un post aquí.
Utilizamos radian notación. Cada racional múltiples de $\pi$ tiene funciones trigonométricas que puede ser expresado mediante el ordinario de las operaciones aritméticas, además de a $n$-th raíces para el adecuado $n$.
Esto es casi inmediata si usamos números complejos, ya que $(\cos(2\pi/n)+i\sin(2\pi/n)^n=1$.
Pero se sabe, por ejemplo, que no hay expresión de $\sin(\pi/9)$ que comienza a partir de los enteros, y utiliza sólo el ordinario de las operaciones de la aritmética y raíces, en el que cada componente es real.
El siguiente más restringido problema tiene una larga historia, debido a su estrecha conexión con el problema de que los ángulos son construibles por la regla y el compás.
Deje $\theta=\frac{m}{n}\pi$ donde $m$ $n$ son relativamente primos. Restringir nuestras operaciones algebraicas para las operaciones ordinarias de la aritmética, además de las raíces cuadradas sólo, Las funciones trigonométricas de $\theta$ son por lo expresable iff $n$ tiene la forma $$n=2^k p_1p_2\cdots p_s,$$ donde el $p_i$ son distintos de los números primos de Fermat.
Una de Fermat prime es un primo de la forma $2^{\left(2^t\right)}+1$. Sólo hay cinco números primos de Fermat conocido: $3$, $5$, $17$, $257$, y $65537$. No se sabe si hay o no más de cinco.
En enero de 2008, he publicado varias referencias publicadas en la década de 1800 de tablas que dan los valores exactos para el seno y coseno de $3$, $6$, $9$, ..., $90$ ángulos de grado. (Entre el entero ángulos de grado, sólo aquellos que son múltiplos de $3$ puede ser expresado en forma radical.) Ver las Matemáticas de archivo de Foro para el 1er post y Matemáticas de archivo de Foro para el 2do post.
La mejor tabla sé que fue preparado por la Bélgica matemático E. Gelin en la década de 1880. Su tabla proporciona una lista de valores, con racionalizado denominadores, para todos los seis trig. funciones evaluadas en $3$, $6$, $9$, ..., $90$ ángulos de grado. Sé de tres lugares donde su mesa se ha publicado:
Mathesis Recueil Mathematique (1) 8 (1888), Suplemento 3. [Vea las páginas 327-333 de la descarga .archivo pdf.]
Mathesis Recueil Mathematique (3) 6 (1906), Suplemento 3. [Vea las páginas 338-348 de la descarga .archivo pdf.]
E. Gelin, Éléments de Trigonométrie Avión et Sphérique (1888). [Vea las páginas 59-62, que es equivalente a p 66 a 69 de la descarga .archivo pdf.]
Creo Johann Heinrich Lambert fue la primera persona que publicó exacta radical de los valores para el seno de $3$, $6$, $9$, etc. ángulos de grado. Una tabla de valores está en el Volumen 1 de su Obras completas. La tabla está en un artículo que fue publicado en 1770. Lambert tabla fue reimpreso dos o tres veces en la primera mitad de la década de 1800 (por ejemplo, una fue en el Diario de Crelle [= Journal für die reine und angewandte Mathematik]), pero no tengo las referencias exactas conmigo ahora.
Comenzando con $\tan(\pi/3)=\sqrt{3}$ $\tan(\pi/4)=1$ y el uso de $$ \tan(x/2)=\frac{\sqrt{1+\tan^2(x)}-1}{\tan(x)}\etiqueta{1} $$ y $$ \tan(x+y)=\frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}\etiqueta{2} $$ y $$ (\cos(x),\sin(x))=\frac{(1,\tan(x))}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}\etiqueta{3} $$ podemos construir el seno y el coseno de todos racional múltiplos de $\pi$ donde el denominador es una potencia de $2$ o $3$ multiplicado por una potencia de $2$.
Por ejemplo, $x=\pi/4$ $(1)$ da $$ \tan(\pi/8)=\sqrt{2}-1\etiqueta{4} $$ a continuación, $(2)$ $(4)$ rendimientos $$ \begin{align} \tan(3\pi/8) &=\tan(\pi/4+\pi/8)\\ &=\frac{1+\tan(\pi/8)}{1-\tan(\pi/8)}\\ &=\sqrt{2}+1\tag{5} \end{align} $$ A continuación, $(3)$ $(5)$ dar $$ (\cos(3\pi/8),\sin(3\pi/8))=\frac{(1,\sqrt{2}+1)}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}\etiqueta{6} $$
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