Cómo evaluar $$ \int_{0}^2 x^{26} (x-1)^{17} (5x-3)dx ~~ ?$ $ He intentado evaluar, $$ I = \int_{0}^2 x^{26} (x-1)^{17} (5x-3)dx = 5\int_{0}^2 x^{27} (x-1)^{17} dx - 3\int_{0}^2 x^{26} (x-1)^{17} dx$ $ por partes, pero estoy obteniendo expresiones muy largas para ambas integrales. Por favor ayuda.
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Karl Zilles
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Dejemos que $$ I = \int_{0}^2 x^{26} (x-1)^{17} (5x-3)dx = \int_{0}^2 x^{26} (x-1)^{17} (2x+3(x-1) )dx = I_1 + I_2 $ $ integramos $I_1$ por partes, tomando $x^{27} $ como primera función, por lo tanto, $$ I_1 = \left . \frac{1}{9} x^{27} (x-1)^{18} \right| _{0}^{2}- I_2 ~ = \frac{2^{27}}{9} -I_2 $ $ Por lo tanto, $$ I = \frac{2^{27}}{9}~~ .$ $
heydmj
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PS
Entonces \begin{align*} \int x^{26} (x-1)^{17} \left\{(26+17+2)x - (26+1)\right\} dx &= \int x^{26} (x-1)^{17} (45x - 27) dx \\ &= 9\int x^{26} (x-1)^{17} (5x - 3) dx \\ &= x^{27} (x-1)^{18} \end {align*}
Por lo tanto $$\frac{d}{dx} x^{a+1} (x-1)^{b+1} = x^a (x-1)^b \left\{(a+b+2)x - (a+1)\right\}$ $
